Blog · Mathe · 2026-07-31

Lineare Gleichungssysteme: Aufgaben mit Lösungen zum Üben

Kurz gesagt: Ein lineares Gleichungssystem (LGS) besteht aus mehreren linearen Gleichungen mit gemeinsamen Variablen. Zum Lösen nutzt du das Einsetzungsverfahren, das Gleichsetzungsverfahren oder das Additionsverfahren, bei drei Variablen meist das Gauß-Verfahren. Ein LGS hat genau eine Lösung, keine Lösung oder unendlich viele Lösungen. Übungsaufgaben mit Lösungen findest du direkt hier im Artikel, sortiert nach Schwierigkeit, so wie in typischen Aufgaben-PDFs für die Oberstufe.

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Was du können musst, bevor du Aufgaben rechnest

Bevor du dir Aufgabenblätter zu linearen Gleichungssystemen als PDF herunterlädst oder die Aufgaben hier bearbeitest, brauchst du drei Dinge sicher im Griff:

Äquivalenzumformungen: Du darfst auf beiden Seiten einer Gleichung dasselbe addieren, subtrahieren, multiplizieren oder durch dieselbe Zahl (ungleich null) dividieren.
Die drei Lösungsverfahren: Einsetzungsverfahren (eine Gleichung nach einer Variablen auflösen, in die andere einsetzen), Gleichsetzungsverfahren (beide Gleichungen nach derselben Variablen auflösen und gleichsetzen), Additionsverfahren (Gleichungen so multiplizieren, dass beim Addieren eine Variable wegfällt).
Die drei Lösungsfälle: Genau eine Lösung (die Geraden schneiden sich), keine Lösung (parallele Geraden, du erhältst eine falsche Aussage wie 0 = 5) oder unendlich viele Lösungen (identische Geraden, du erhältst eine wahre Aussage wie 0 = 0).

Im Grundkurs kommen dazu Systeme mit drei Variablen, die du mit dem Gauß-Verfahren löst. Das brauchst du später auch in der analytischen Geometrie, etwa beim Schnitt von Ebenen.

Durchgerechnetes Beispiel: Additionsverfahren Schritt für Schritt

Gegeben ist das System:

Gleichung I: 3x + 2y = 12
Gleichung II: 5x - 4y = 10

Schritt 1: Verfahren wählen. Die y-Koeffizienten (2 und -4) lassen sich leicht angleichen. Also Additionsverfahren.

Schritt 2: Gleichung I mit 2 multiplizieren.

Neue Gleichung I: 6x + 4y = 24

Schritt 3: Beide Gleichungen addieren. Die y-Terme heben sich auf, denn 4y + (-4y) = 0.

6x + 4y + 5x - 4y = 24 + 10, also 11x = 34? Halt, prüfen: 6x + 5x = 11x und 24 + 10 = 34. Stimmt. Also x = 34/11? Das sieht unschön aus. Genau hier lohnt der Kontrollblick: Rechne nach, das Ergebnis ist korrekt, nicht jede Lösung ist eine glatte Zahl. Nehmen wir für ein glatteres Beispiel stattdessen Gleichung II als 5x - 4y = 2.

Neu mit II: 5x - 4y = 2. Addition ergibt 11x = 26? Nein: 24 + 2 = 26, also x = 26/11. Auch krumm. Fazit: Krumme Ergebnisse sind kein Fehlerbeweis. Die Probe entscheidet.

Schritt 4: Rückeinsetzen. Mit dem ursprünglichen System (I: 3x + 2y = 12, II: 5x - 4y = 10) und x = 34/11 folgt aus I: 2y = 12 - 102/11 = 30/11, also y = 15/11.

Schritt 5: Probe in Gleichung II. 5 · (34/11) - 4 · (15/11) = 170/11 - 60/11 = 110/11 = 10. Passt. Die Lösungsmenge ist L = {(34/11; 15/11)}.

Merke dir aus diesem Beispiel: Die Probe in der Gleichung, die du nicht zum Rückeinsetzen benutzt hast, ist dein Sicherheitsnetz.

Tipp: Genau das kannst du bei ApexAbi kostenlos üben, mit sofortiger Korrektur wie in der Klausur.

Übungsaufgaben mit Lösungen (wie im Aufgaben-PDF)

Rechne die Aufgaben ohne Taschenrechner, wenn möglich. Die Lösungen stehen darunter. Willst du die Aufgaben lineare Gleichungssysteme als PDF nutzen, drucke diese Seite einfach über die Druckfunktion deines Browsers als PDF.

Level 1: Grundlagen (zwei Variablen)

I: x + y = 7, II: x - y = 3
I: 2x + 3y = 13, II: x - y = 1
I: 4x + 2y = 10, II: 2x + y = 5

Level 2: Anwendung

Zwei Zahlen haben die Summe 50. Die eine Zahl ist um 8 größer als die andere. Stelle ein LGS auf und löse es.
Kinokarten: 3 Erwachsene und 2 Kinder zahlen zusammen 41 Euro, 1 Erwachsener und 4 Kinder zahlen 27 Euro. Was kostet jeweils eine Karte?

Level 3: Drei Variablen (Gauß-Verfahren)

I: x + y + z = 6, II: 2x - y + z = 3, III: x + 2y - z = 2

Lösungen:

Level 1, Aufgabe 1: x = 5, y = 2 (Addition beider Gleichungen liefert 2x = 10).
Level 1, Aufgabe 2: x = 3,2 und y = 2,2. Rechenweg: Aus II folgt x = y + 1, einsetzen in I ergibt 2(y + 1) + 3y = 13, also 5y = 11.
Level 1, Aufgabe 3: Unendlich viele Lösungen, denn Gleichung I ist das Doppelte von Gleichung II. L = {(x; y) mit y = 5 - 2x}.
Level 2, Aufgabe 1: I: a + b = 50, II: a = b + 8. Ergebnis: a = 29, b = 21.
Level 2, Aufgabe 2: Erwachsener 9 Euro, Kind 7 Euro? Probe: 3 · 9 + 2 · 7 = 41, passt. Und 9 + 4 · 7 = 37, das passt nicht zu 27. Also neu rechnen: Aus II folgt e = 27 - 4k, in I eingesetzt: 3(27 - 4k) + 2k = 41, also 81 - 10k = 41, k = 4 und e = 11. Probe: 3 · 11 + 2 · 4 = 41 und 11 + 16 = 27. Genau so gehst du mit einem Fehlverdacht um: zurück zum Ansatz, neu einsetzen, Probe machen.
Level 3: x = 1, y = 2, z = 3. Weg: I minus III eliminiert x nicht direkt, besser II minus 2 · I ergibt -3y - z = -9. III minus I ergibt y - 2z = -4, also y = 2z - 4. Einsetzen: -3(2z - 4) - z = -9, also -7z = -21, z = 3, dann y = 2 und x = 1.

Häufige Fehler und wie du sie vermeidest

In Klausuren gehen die meisten Punkte nicht an der Methode verloren, sondern an vermeidbaren Kleinigkeiten.

Vorzeichenfehler beim Subtrahieren von Gleichungen: Ziehst du Gleichung II von Gleichung I ab, musst du jedes Vorzeichen in II umdrehen. Schreibe die Zwischenzeile aus, statt sie im Kopf zu rechnen.
Nur eine Gleichung multiplizieren, aber halbherzig: Multiplizierst du eine Gleichung mit 3, gilt das für jeden einzelnen Term, auch für die rechte Seite.
Falsche Interpretation von 0 = 0 und 0 = 5: Eine wahre Aussage wie 0 = 0 bedeutet unendlich viele Lösungen, eine falsche wie 0 = 5 bedeutet keine Lösung. Viele verwechseln das genau andersherum.
Rückeinsetzen in die schon umgeformte Gleichung: Setze zur Probe immer in die Originalgleichungen ein. Hast du dich beim Umformen vertan, fällt es dir sonst nie auf.
Lösungsmenge vergessen: Der Antwortsatz oder die Schreibweise L = {(x; y)} bringt in Berlin oft einen eigenen Punkt. Schenk ihn nicht her.
Bei Textaufgaben ohne Variablendefinition starten: Schreibe zuerst auf, wofür x und y stehen, inklusive Einheit. Das strukturiert deinen Ansatz und gibt Darstellungspunkte.

Checkliste fürs Vorgehen in der Klausur

Arbeite jede LGS-Aufgabe in dieser Reihenfolge ab:

System ordnen: Alle Variablen links, Zahlen rechts, Gleichungen mit I, II, III nummerieren.
Verfahren wählen: Steht eine Gleichung schon nach einer Variablen aufgelöst da? Dann Einsetzungsverfahren. Haben zwei Gleichungen passende Koeffizienten? Dann Additionsverfahren.
Jeden Umformungsschritt notieren: Zum Beispiel „II - 2 · I“ an den Rand schreiben. Das gibt Nachvollziehbarkeitspunkte, selbst wenn du dich verrechnest.
Rückeinsetzen und alle Variablen bestimmen.
Probe in allen Originalgleichungen. Dauert 30 Sekunden, rettet ganze Aufgaben.
Lösungsmenge oder Antwortsatz formulieren. Bei Textaufgaben mit Einheit und im Kontext der Aufgabe.
Sonderfälle prüfen: Kam 0 = 0 oder eine falsche Aussage heraus? Dann sauber begründen, warum es unendlich viele oder keine Lösungen gibt.

Ein Tipp fürs Üben mit Aufgabenblättern: Rechne nicht zehn gleiche Aufgaben hintereinander. Mische die Level und wechsle die Verfahren bewusst durch, denn in der Klausur suchst du dir das Verfahren auch selbst aus.

So erstellst du dir dein eigenes Übungs-PDF

Statt lange nach dem perfekten fertigen PDF zu suchen, bau dir dein eigenes Übungsblatt. Das geht schneller als gedacht und trainiert nebenbei dein Verständnis.

Rückwärts konstruieren: Wähle eine Lösung, etwa x = 2 und y = -1. Denk dir zwei linke Seiten aus, zum Beispiel 3x + 4y und x - 2y, und rechne die rechten Seiten aus: 3 · 2 + 4 · (-1) = 2 und 2 - 2 · (-1) = 4. Fertig ist das System 3x + 4y = 2 und x - 2y = 4 mit garantierter Lösung.
Sonderfälle einbauen: Multipliziere eine Gleichung mit 2 und ändere nur die rechte Seite. Schon hast du ein unlösbares System zum Erkennen üben.
Aufgaben aus dem Unterricht variieren: Ändere in Buchaufgaben nur die Zahlen und rechne neu. Dein Lehrbuch liefert die Struktur, du lieferst die Übung.
Als PDF sichern: Tippe die Aufgaben in ein Dokument und exportiere es als PDF, oder drucke diese Seite über den Browser-Dialog „Als PDF speichern“.

Wichtig beim Üben: Erst die komplette Aufgabe rechnen, dann die Lösung anschauen. Wer nach jedem Schritt spickt, lernt das Nachvollziehen, nicht das Lösen.

Häufige Fragen

Welches Verfahren ist das beste zum Lösen linearer Gleichungssysteme?

Es gibt kein generell bestes Verfahren, es hängt vom System ab. Ist eine Gleichung schon nach einer Variablen aufgelöst, nimm das Einsetzungsverfahren. Haben die Gleichungen passende oder leicht anzugleichende Koeffizienten, ist das Additionsverfahren meist am schnellsten. Bei drei oder mehr Variablen führt kaum ein Weg am Gauß-Verfahren vorbei.

Woran erkenne ich, ob ein LGS keine oder unendlich viele Lösungen hat?

Rechne ganz normal weiter, bis die Variablen wegfallen. Bleibt eine wahre Aussage wie 0 = 0 übrig, gibt es unendlich viele Lösungen, die Gleichungen beschreiben dieselbe Gerade. Bleibt eine falsche Aussage wie 0 = 5 übrig, gibt es keine Lösung, die Geraden sind parallel.

Darf ich in der Klausur den Taschenrechner für lineare Gleichungssysteme benutzen?

Das hängt von der Prüfung ab. Viele Klausuren in Berlin haben einen hilfsmittelfreien Teil, in dem du LGS per Hand lösen musst. Selbst wenn der Rechner erlaubt ist, verlangt die Aufgabenstellung oft einen nachvollziehbaren Rechenweg. Übe das Lösen per Hand daher immer mit.

Wie löse ich ein Gleichungssystem mit drei Variablen?

Mit dem Gauß-Verfahren: Eliminiere zuerst eine Variable aus zwei Gleichungspaaren, sodass ein System mit zwei Gleichungen und zwei Variablen entsteht. Das löst du wie gewohnt und setzt die Ergebnisse schrittweise zurück ein. Notiere jeden Eliminationsschritt, zum Beispiel „II - 2 · I“, damit dein Weg nachvollziehbar bleibt.

Wie stelle ich aus einer Textaufgabe ein lineares Gleichungssystem auf?

Definiere zuerst die Variablen mit Bedeutung und Einheit, etwa x als Preis einer Erwachsenenkarte in Euro. Übersetze dann jede Information aus dem Text in eine eigene Gleichung. Du brauchst so viele unabhängige Gleichungen wie Variablen. Am Ende immer einen Antwortsatz im Kontext der Aufgabe formulieren.