Blog · Mathe · 2026-07-28

Aufgaben zu linearen Gleichungssystemen: Üben mit Lösungsweg

Kurz gesagt: Aufgaben zu linearen Gleichungssystemen löst du in drei Schritten: Gleichungen ordnen, ein Verfahren wählen (Einsetzungs-, Gleichsetzungs- oder Additionsverfahren) und die Lösung durch Einsetzen in beide Ausgangsgleichungen prüfen. Ein System aus zwei Gleichungen mit zwei Variablen hat genau eine Lösung, keine Lösung oder unendlich viele Lösungen. Übe zuerst einfache 2x2-Systeme, dann Textaufgaben und größere Systeme mit dem Gauß-Verfahren.

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Was ein lineares Gleichungssystem ist und welche Lösungsfälle es gibt

Ein lineares Gleichungssystem (kurz: LGS) besteht aus mehreren linearen Gleichungen mit denselben Variablen. Im Grundkurs arbeitest du meist mit zwei Gleichungen und zwei Variablen, zum Beispiel:

I: 2x + 3y = 12
II: 4x - 3y = 6

Gesucht ist ein Zahlenpaar (x; y), das beide Gleichungen gleichzeitig erfüllt. Grafisch gesehen sind beide Gleichungen Geraden. Daraus ergeben sich genau drei mögliche Fälle:

• Genau eine Lösung: Die Geraden schneiden sich in einem Punkt. Der Normalfall in Aufgaben.
• Keine Lösung: Die Geraden sind parallel. Beim Rechnen entsteht ein Widerspruch wie 0 = 5.
• Unendlich viele Lösungen: Beide Gleichungen beschreiben dieselbe Gerade. Beim Rechnen entsteht eine wahre Aussage wie 0 = 0.

Merke dir diese drei Fälle. Sie tauchen in fast jeder Klausur auf, oft als Verständnisfrage.

Die drei Lösungsverfahren Schritt für Schritt

Für lineare Gleichungssysteme gibt es drei Standardverfahren. Alle führen zum selben Ergebnis, aber je nach Aufgabe ist eines schneller.

1. Einsetzungsverfahren

1. Löse eine Gleichung nach einer Variablen auf, etwa x = ...
2. Setze diesen Term in die andere Gleichung ein.
3. Löse die entstehende Gleichung mit nur einer Variablen.
4. Setze das Ergebnis zurück ein und berechne die zweite Variable.

Ideal, wenn eine Gleichung schon nach x oder y aufgelöst ist.

2. Gleichsetzungsverfahren

1. Löse beide Gleichungen nach derselben Variablen auf.
2. Setze die beiden Terme gleich.
3. Löse nach der verbleibenden Variablen und rechne zurück.

Praktisch bei zwei Geradengleichungen der Form y = mx + n.

3. Additionsverfahren

1. Multipliziere eine oder beide Gleichungen so, dass eine Variable in beiden Gleichungen mit entgegengesetzten Koeffizienten steht.
2. Addiere beide Gleichungen. Eine Variable fällt weg.
3. Löse die Restgleichung und setze zurück ein.

Am stärksten bei Gleichungen in der Form ax + by = c. Für Systeme mit drei Variablen wird daraus das Gauß-Verfahren: Du eliminierst schrittweise Variablen, bis eine Stufenform entsteht.

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Ein Beispiel komplett durchgerechnet

Nimm das System von oben:

I: 2x + 3y = 12
II: 4x - 3y = 6

Welches Verfahren passt? Die y-Koeffizienten sind +3 und -3, also entgegengesetzt. Das schreit nach dem Additionsverfahren.

1. Addieren: I + II ergibt 2x + 4x + 3y - 3y = 12 + 6, also 6x = 18.
2. Auflösen: x = 3.
3. Einsetzen in I: 2 mal 3 + 3y = 12, also 6 + 3y = 12, daraus 3y = 6 und y = 2.
4. Probe in II: 4 mal 3 - 3 mal 2 = 12 - 6 = 6. Stimmt.

Lösung: x = 3 und y = 2, als Lösungsmenge geschrieben L = {(3; 2)}. Die Probe in der zweiten Gleichung ist kein Luxus, sondern deine Absicherung gegen Rechenfehler.

Übungsaufgaben mit Lösungen

Vier Aufgaben, aufsteigend im Schwierigkeitsgrad. Rechne erst selbst, dann vergleiche.

Du willst mehr? Verändere die Zahlen selbst und rechne erneut. So erzeugst du dir unbegrenzt viele lineare Gleichungssysteme als Aufgaben zum Üben.

Häufige Fehler und wie du sie vermeidest

• Vorzeichenfehler beim Umformen: Der Klassiker. Wenn du eine Gleichung mit -1 oder -2 multiplizierst, muss jedes Glied das Vorzeichen wechseln, auch die rechte Seite. Schreibe die Umformung explizit hin, statt sie im Kopf zu machen.
• Nur eine Variable berechnen: Gefragt ist das Lösungspaar. Wer bei x = 3 aufhört, verschenkt Punkte. Immer zurück einsetzen und auch y bestimmen.
• Term nur in eine Klammer einsetzen: Beim Einsetzungsverfahren gehört der komplette Term in Klammern. Aus 3x wird bei x = y + 4 also 3(y + 4), nicht 3y + 4.
• Widerspruch falsch deuten: Kommt 0 = 5 heraus, hast du nicht zwingend falsch gerechnet. Das System kann schlicht keine Lösung haben. Prüfe kurz, ob die Gleichungen parallele Geraden beschreiben.
• Probe vergessen: Zwei Minuten Einsetzen in beide Ausgangsgleichungen decken fast jeden Rechenfehler auf. Beide Gleichungen, nicht nur eine.
• Bei Textaufgaben Variablen nicht definieren: Ohne den Satz "Sei e der Preis eines Erwachsenentickets" fehlt der Bezug, und die Antwort am Ende bleibt unklar. Definition am Anfang, Antwortsatz am Ende.

Checkliste für die Klausur

Kurz vor der Arbeit noch einmal durchgehen:

1. Beide Gleichungen ordentlich untereinander schreiben und mit I und II nummerieren.
2. Verfahren bewusst wählen: Eine Gleichung schon aufgelöst? Einsetzen. Beide in y = ... Form? Gleichsetzen. Form ax + by = c? Addieren.
3. Jeden Umformungsschritt notieren, etwa "I mal 2" oder "II in I einsetzen". Das gibt Punkte für den Lösungsweg.
4. Beide Variablen berechnen und die Lösungsmenge angeben.
5. Probe in beiden Ausgangsgleichungen machen.
6. Bei Textaufgaben: Variablen definieren, Gleichungen aufstellen, am Ende einen Antwortsatz formulieren.
7. Sonderfälle erkennen: 0 = 0 bedeutet unendlich viele Lösungen, ein Widerspruch wie 0 = 5 bedeutet keine Lösung. Das gehört in die Antwort.

Trainiere diesen Ablauf an fünf bis zehn Aufgaben, bis er automatisch läuft. Dann bleibt in der Klausur Kopf frei fürs Rechnen.

Häufige Fragen

Welches Verfahren ist bei linearen Gleichungssystemen am schnellsten?

Das hängt von der Form der Gleichungen ab. Ist eine Gleichung bereits nach x oder y aufgelöst, geht das Einsetzungsverfahren am schnellsten. Stehen beide Gleichungen in der Form ax + by = c, spart das Additionsverfahren meist Schritte. Alle drei Verfahren liefern dieselbe Lösung, du darfst frei wählen, wenn die Aufgabe nichts vorgibt.

Woran erkenne ich, dass ein LGS keine oder unendlich viele Lösungen hat?

Am Ergebnis der Rechnung. Fallen beim Umformen beide Variablen weg und es bleibt eine wahre Aussage wie 0 = 0, gibt es unendlich viele Lösungen. Bleibt ein Widerspruch wie 0 = 5, gibt es keine Lösung. Grafisch entsprechen die Fälle identischen beziehungsweise parallelen Geraden.

Wie gehe ich bei Textaufgaben mit linearen Gleichungssystemen vor?

Definiere zuerst die Variablen mit Einheit, etwa e für den Preis eines Erwachsenentickets in Euro. Übersetze dann jede Information aus dem Text in eine Gleichung. Löse das System mit einem Verfahren deiner Wahl und formuliere zum Schluss einen Antwortsatz, der die Frage der Aufgabe beantwortet.

Was ist das Gauß-Verfahren und brauche ich es im Grundkurs?

Das Gauß-Verfahren ist eine systematische Erweiterung des Additionsverfahrens für Systeme mit drei oder mehr Variablen. Du eliminierst schrittweise Variablen, bis eine Stufenform entsteht, und rechnest dann von unten nach oben zurück. Im Berliner Grundkurs kommt es vor allem in der analytischen Geometrie vor, etwa bei Schnittpunkten von Geraden und Ebenen.

Darf ich lineare Gleichungssysteme mit dem Taschenrechner lösen?

Viele grafikfähige Taschenrechner und CAS-Rechner können LGS direkt lösen, und im hilfsmittelgestützten Klausurteil ist das oft erlaubt. Der Lösungsweg per Hand wird trotzdem geprüft, meist im hilfsmittelfreien Teil. Nutze den Rechner deshalb eher zur Kontrolle und beherrsche die Verfahren sicher ohne Technik.

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