Blog · Mathe · 2026-07-31

Aufgaben zu Wahrscheinlichkeitsrechnung: So löst du sie sicher

Kurz gesagt: Aufgaben zur Wahrscheinlichkeitsrechnung löst du in vier Schritten: Zuerst das Zufallsexperiment beschreiben und klären, ob mit oder ohne Zurücklegen gezogen wird. Dann ein passendes Modell wählen, etwa Baumdiagramm, Vierfeldertafel oder Binomialverteilung. Anschließend mit den Pfadregeln rechnen: entlang eines Pfades multiplizieren, über mehrere Pfade addieren. Zum Schluss das Ergebnis als Wahrscheinlichkeit zwischen 0 und 1 prüfen und im Sachzusammenhang deuten.

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Diese Aufgabentypen erwarten dich im Grundkurs

In Klausuren und im Abitur tauchen fast immer dieselben vier Typen auf. Kennst du sie, weißt du sofort, welches Werkzeug du brauchst.

Mehrstufige Zufallsexperimente: Ziehen aus einer Urne, Würfeln, Glücksräder. Werkzeug: Baumdiagramm mit Pfadregeln.
Bedingte Wahrscheinlichkeit: Aufgaben mit Formulierungen wie "unter der Bedingung, dass" oder "von den Getesteten". Werkzeug: Vierfeldertafel oder umgedrehtes Baumdiagramm.
Binomialverteilung: Ein Experiment mit genau zwei Ausgängen wird n-mal unabhängig wiederholt. Werkzeug: Bernoulli-Formel oder Taschenrechner.
Erwartungswert: Meist bei Glücksspielen. Frage: Lohnt sich das Spiel auf lange Sicht? Werkzeug: Tabelle mit Werten und Wahrscheinlichkeiten.

Erster Schritt bei jeder Aufgabe: den Typ erkennen. Alles andere folgt daraus.

Schritt für Schritt: So gehst du jede Aufgabe an

Situation erfassen. Was passiert? Wie oft? Wird zurückgelegt oder nicht? Notiere die gegebenen Zahlen.
Ereignisse benennen. Definiere zum Beispiel A: "rote Kugel im ersten Zug". Das zwingt dich zur Präzision und bringt in der Klausur Punkte.
Modell wählen. Zwei bis drei Stufen: Baumdiagramm. Zwei Merkmale mit Anteilen: Vierfeldertafel. Viele gleiche Wiederholungen mit zwei Ausgängen: Binomialverteilung.
Pfadregeln anwenden. Erste Pfadregel: Entlang eines Pfades werden die Wahrscheinlichkeiten multipliziert. Zweite Pfadregel: Führen mehrere Pfade zum gesuchten Ereignis, werden ihre Wahrscheinlichkeiten addiert.
Gegenereignis prüfen. Bei "mindestens ein" rechnest du fast immer schneller mit P(mindestens ein Treffer) = 1 minus P(kein Treffer).
Ergebnis kontrollieren und deuten. Liegt der Wert zwischen 0 und 1? Passt er zur Intuition? Formuliere einen Antwortsatz im Sachzusammenhang.

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Durchgerechnetes Beispiel: Ziehen ohne Zurücklegen

Aufgabe: In einer Urne liegen 3 rote und 7 blaue Kugeln. Du ziehst zweimal ohne Zurücklegen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, genau eine rote Kugel zu ziehen?

Schritt 1: Modell. Zwei Stufen, ohne Zurücklegen. Also Baumdiagramm, und die Wahrscheinlichkeiten ändern sich auf der zweiten Stufe.

Schritt 2: Pfade finden. Genau eine rote Kugel bedeutet: entweder erst rot, dann blau, oder erst blau, dann rot. Zwei Pfade.

Schritt 3: Erste Pfadregel (multiplizieren).

Pfad rot, blau: P = 3/10 mal 7/9 = 21/90
Pfad blau, rot: P = 7/10 mal 3/9 = 21/90

Schritt 4: Zweite Pfadregel (addieren). P(genau eine rote) = 21/90 + 21/90 = 42/90 = 7/15, also etwa 0,467.

Antwortsatz: Die Wahrscheinlichkeit, genau eine rote Kugel zu ziehen, beträgt 7/15, also rund 46,7 Prozent.

Achte auf den Nenner der zweiten Stufe: Nach dem ersten Zug liegen nur noch 9 Kugeln in der Urne. Genau hier passieren die meisten Rechenfehler.

Zweites Beispiel: Binomialverteilung beim Multiple-Choice-Test

Aufgabe: Ein Test hat 10 Fragen mit je 4 Antwortmöglichkeiten, nur eine ist richtig. Du rätst bei allen Fragen. Wie wahrscheinlich sind genau 3 richtige Antworten?

Prüfen der Voraussetzungen: Zwei Ausgänge pro Frage (richtig oder falsch), feste Trefferwahrscheinlichkeit p = 0,25, n = 10 unabhängige Wiederholungen. Alle Bedingungen erfüllt, also Binomialverteilung.

Bernoulli-Formel: P(X = k) = (n über k) mal p hoch k mal (1 minus p) hoch (n minus k).

Einsetzen: P(X = 3) = (10 über 3) mal 0,25 hoch 3 mal 0,75 hoch 7 = 120 mal 0,015625 mal 0,1335 (gerundet), also etwa 0,25.

Antwortsatz: Mit einer Wahrscheinlichkeit von rund 25 Prozent rätst du genau 3 Antworten richtig.

Für Fragen wie "höchstens 3 richtige" nutzt du die kumulierte Binomialverteilung deines Taschenrechners. Für "mindestens 4" rechnest du 1 minus P(X kleiner oder gleich 3).

Häufige Fehler und wie du sie vermeidest

Mit und ohne Zurücklegen verwechselt. Ohne Zurücklegen ändern sich die Wahrscheinlichkeiten auf jeder Stufe. Kontrolle: Verkleinert sich der Nenner im Baumdiagramm?
Addieren statt multiplizieren. Entlang eines Pfades wird immer multipliziert. Addiert wird nur, wenn mehrere Pfade zum selben Ereignis führen.
P(A und B) mit P(A unter der Bedingung B) verwechselt. "Die Person ist krank und positiv getestet" ist etwas anderes als "von den positiv Getesteten ist die Person krank". Eine Vierfeldertafel macht den Unterschied sichtbar.
"Mindestens" falsch übersetzt. Mindestens 2 heißt: 2, 3, 4 und so weiter. Schneller geht fast immer der Weg über das Gegenereignis.
Binomialverteilung ohne Prüfung benutzt. Wird ohne Zurücklegen aus einer kleinen Menge gezogen, ist p nicht konstant. Dann ist das Modell falsch.
Ergebnis nicht geprüft. Kommt bei dir 1,3 heraus? Dann stimmt etwas nicht, denn Wahrscheinlichkeiten liegen immer zwischen 0 und 1.

Checkliste für die Klausur

Aufgabentyp erkannt: Baumdiagramm, Vierfeldertafel, Binomialverteilung oder Erwartungswert?
Mit oder ohne Zurücklegen geklärt?
Ereignisse sauber definiert und notiert?
Baumdiagramm oder Tafel vollständig beschriftet, mit allen Wahrscheinlichkeiten an den Ästen?
Signalwörter beachtet: "genau", "mindestens", "höchstens", "unter der Bedingung"?
Bei "mindestens": Gegenereignis genutzt?
Bei Binomialverteilung: n, p und k explizit angegeben?
Ergebnis zwischen 0 und 1 und plausibel?
Antwortsatz im Sachzusammenhang formuliert?

Diese Liste kostet dich in der Klausur zwei Minuten. Sie rettet dir aber regelmäßig die Punkte, die zwischen zwei Notenstufen liegen.

Häufige Fragen

Woran erkenne ich, ob mit oder ohne Zurücklegen gezogen wird?

Lies den Aufgabentext genau: Formulierungen wie "legt die Kugel zurück" oder "zieht gleichzeitig zwei Kugeln" geben den Hinweis. Gleichzeitiges Ziehen entspricht immer dem Ziehen ohne Zurücklegen. Ohne Zurücklegen ändern sich die Wahrscheinlichkeiten auf jeder Stufe des Baumdiagramms, weil weniger Objekte übrig sind.

Was ist der Unterschied zwischen P(A und B) und P(A unter der Bedingung B)?

P(A und B) beschreibt die Wahrscheinlichkeit, dass beide Ereignisse zusammen eintreten, bezogen auf alle möglichen Ausgänge. P(A unter der Bedingung B) betrachtet nur noch die Fälle, in denen B bereits eingetreten ist. Rechnerisch gilt: P(A unter der Bedingung B) = P(A und B) geteilt durch P(B).

Wann darf ich die Binomialverteilung verwenden?

Es müssen drei Bedingungen erfüllt sein: Das Experiment hat genau zwei Ausgänge, die Trefferwahrscheinlichkeit p bleibt bei jeder Wiederholung gleich, und die Wiederholungen sind unabhängig voneinander. Beim Ziehen ohne Zurücklegen aus einer kleinen Menge ist p nicht konstant, dann ist die Binomialverteilung kein passendes Modell.

Wie berechne ich die Wahrscheinlichkeit für "mindestens ein Treffer"?

Am schnellsten über das Gegenereignis: P(mindestens ein Treffer) = 1 minus P(kein Treffer). Du berechnest also nur die Wahrscheinlichkeit, dass gar kein Treffer eintritt, und ziehst sie von 1 ab. Das erspart dir das Aufsummieren vieler einzelner Fälle.

Was sagt der Erwartungswert bei einem Glücksspiel aus?

Der Erwartungswert gibt an, welchen Gewinn oder Verlust du pro Spiel auf lange Sicht durchschnittlich erwarten kannst. Du berechnest ihn, indem du jeden möglichen Wert mit seiner Wahrscheinlichkeit multiplizierst und alles addierst. Ist der Erwartungswert negativ, verlierst du bei vielen Wiederholungen im Mittel Geld, das Spiel ist dann unfair für dich.