Blog · Mathe · 2026-07-31

Aufgaben zur Binomialverteilung: So löst du sie sicher

Kurz gesagt: Aufgaben zur Binomialverteilung löst du mit der Formel P(X=k) = (n über k) · p^k · (1-p)^(n-k). Prüfe zuerst, ob ein Bernoulli-Experiment vorliegt: feste Anzahl n an Versuchen, nur zwei Ausgänge (Treffer oder Niete), konstante Trefferwahrscheinlichkeit p und Unabhängigkeit der Versuche. Lies dann n, p und k aus dem Aufgabentext ab. Bei Formulierungen wie höchstens oder mindestens brauchst du die kumulierte Wahrscheinlichkeit, im Taschenrechner meist binomcdf.

Kostenlos starten — teste es im Abi-Trainer

Schritt 1: Prüfen, ob die Binomialverteilung überhaupt passt

Bevor du rechnest, checkst du die Voraussetzungen. Die Binomialverteilung gilt nur für sogenannte Bernoulli-Ketten. Das bedeutet konkret:

Feste Versuchsanzahl n: Es steht vorher fest, wie oft das Experiment durchgeführt wird, zum Beispiel 20 Würfe oder 50 befragte Personen.
Genau zwei Ausgänge: Treffer oder Niete. Alles andere fasst du zusammen. Beim Würfeln kann eine Sechs der Treffer sein, jede andere Zahl die Niete.
Konstantes p: Die Trefferwahrscheinlichkeit bleibt bei jedem Versuch gleich.
Unabhängigkeit: Ein Versuch beeinflusst den nächsten nicht. Ziehen mit Zurücklegen erfüllt das, Ziehen ohne Zurücklegen streng genommen nicht.

In der Klausur bringt dir dieser Check oft Punkte, wenn du ihn kurz begründest. Ein Satz reicht: Es liegt eine Bernoulli-Kette der Länge n mit Trefferwahrscheinlichkeit p vor, also ist X binomialverteilt.

Schritt 2: Die drei Aufgabentypen erkennen

Fast jede Aufgabe fällt in eine dieser Kategorien. Entscheidend ist das Signalwort im Text.

Formulierung	Mathematisch	Rechenweg
genau k Treffer	P(X = k)	Formel oder binompdf(n, p, k)
höchstens k Treffer	P(X ≤ k)	binomcdf(n, p, k)
mindestens k Treffer	P(X ≥ k)	1 - P(X ≤ k-1), also 1 - binomcdf(n, p, k-1)

Die Grundformel für genau k Treffer lautet: P(X = k) = (n über k) · p^k · (1-p)^(n-k). Dabei ist (n über k) der Binomialkoeffizient, also die Anzahl der Möglichkeiten, k Treffer auf n Versuche zu verteilen.

Noch ein Spezialfall, der ständig drankommt: mindestens ein Treffer. Hier rechnest du über das Gegenereignis: P(X ≥ 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - (1-p)^n. Deutlich schneller als alles einzeln zu addieren.

Tipp: Genau das kannst du bei ApexAbi kostenlos üben, mit sofortiger Korrektur wie in der Klausur.

Durchgerechnetes Beispiel: Multiple-Choice-Test

Ein Test hat 10 Fragen mit je 4 Antwortmöglichkeiten, genau eine ist richtig. Jemand rät bei allen Fragen. X zählt die richtigen Antworten.

Modellierung: n = 10, p = 0,25. Die Versuche sind unabhängig, jede Frage hat zwei relevante Ausgänge (richtig oder falsch), p bleibt konstant. X ist also binomialverteilt.

a) Genau 3 richtige Antworten:

P(X = 3) = (10 über 3) · 0,25^3 · 0,75^7 = 120 · 0,015625 · 0,1335 ≈ 0,2503

Die Wahrscheinlichkeit liegt bei rund 25 %.

b) Höchstens 2 richtige Antworten:

P(X ≤ 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) ≈ 0,0563 + 0,1877 + 0,2816 ≈ 0,5256

Mit dem Taschenrechner: binomcdf(10, 0.25, 2) ≈ 0,5256. Also etwa 53 %.

c) Mindestens 3 richtige Antworten:

P(X ≥ 3) = 1 - P(X ≤ 2) ≈ 1 - 0,5256 = 0,4744

d) Erwartungswert und Standardabweichung:

E(X) = n · p = 10 · 0,25 = 2,5. Im Schnitt errät man also 2,5 Fragen. Die Standardabweichung: Wurzel aus n · p · (1-p) = Wurzel aus 1,875 ≈ 1,37.

Häufige Fehler und wie du sie vermeidest

Mindestens und höchstens verwechseln: P(X ≥ 3) ist nicht 1 - P(X ≤ 3). Richtig ist 1 - P(X ≤ 2). Schreib dir die relevanten k-Werte auf: mindestens 3 heißt 3, 4, 5, ..., n. Das Gegenereignis ist 0, 1, 2.
binompdf statt binomcdf: pdf liefert nur die Wahrscheinlichkeit für genau k, cdf summiert alle Werte von 0 bis k. Bei höchstens brauchst du immer cdf.
Falsches p: Achte darauf, was als Treffer definiert ist. Fragt die Aufgabe nach fehlerhaften Teilen, ist p die Fehlerquote, nicht die Erfolgsquote.
Rundungsfehler durch Zwischenrunden: Runde erst am Ende, sonst weicht dein Ergebnis vom Erwartungshorizont ab. Vier Nachkommastellen sind der übliche Standard.
Voraussetzungen ignoriert: Bei Ziehen ohne Zurücklegen ändert sich p von Versuch zu Versuch. In vielen Aufgaben darfst du trotzdem binomial rechnen, wenn die Grundgesamtheit groß ist. Steht das nicht im Text, erwähne die Näherung kurz.
Formulierung mehr als k Treffer: Das bedeutet X ≥ k+1, nicht X ≥ k. Genau lesen zahlt sich aus.

Checkliste für die Klausur

Zufallsgröße definieren: Ein Satz wie X zählt die Anzahl der Treffer bei n Versuchen.
Binomialverteilung begründen: Bernoulli-Kette nennen, n und p angeben.
Signalwort markieren: genau, höchstens, mindestens, mehr als, weniger als. Übersetze es in eine Ungleichung mit X.
Ansatz hinschreiben: Erst P(X = 3) = ... notieren, dann rechnen. Der Ansatz gibt Punkte, auch wenn du dich vertippst.
Taschenrechnerbefehl dokumentieren: In Berlin üblich: Ergebnis mit Ansatz und Rechnerfunktion angeben, zum Beispiel binomcdf(10, 0.25, 2) ≈ 0,5256.
Ergebnis im Sachkontext deuten: Die Wahrscheinlichkeit, höchstens 2 Fragen richtig zu raten, beträgt etwa 53 %.
Plausibilität prüfen: Liegt das Ergebnis zwischen 0 und 1? Passt es zum Erwartungswert n · p? Wenn nicht, such den Fehler.

Häufige Fragen

Was ist der Unterschied zwischen binompdf und binomcdf?

binompdf(n, p, k) berechnet die Wahrscheinlichkeit für genau k Treffer, also P(X = k). binomcdf(n, p, k) summiert alle Wahrscheinlichkeiten von 0 bis k Treffern und liefert P(X ≤ k). Bei höchstens nimmst du cdf, bei genau pdf, bei mindestens rechnest du 1 minus cdf mit k-1.

Wie rechne ich die Wahrscheinlichkeit für mindestens einen Treffer?

Über das Gegenereignis: P(X ≥ 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - (1-p)^n. Du berechnest also nur die Wahrscheinlichkeit für null Treffer und ziehst sie von 1 ab. Das ist viel schneller, als alle Fälle von 1 bis n einzeln zu addieren.

Was bedeutet n über k und wie berechne ich das?

Der Binomialkoeffizient (n über k) gibt an, auf wie viele Arten sich k Treffer auf n Versuche verteilen lassen. Berechnet wird er als n! geteilt durch (k! · (n-k)!). Im Taschenrechner findest du dafür die Funktion nCr, zum Beispiel 10 nCr 3 = 120.

Darf ich die Binomialverteilung bei Ziehen ohne Zurücklegen verwenden?

Streng genommen nicht, weil sich die Trefferwahrscheinlichkeit nach jedem Zug ändert. Ist die Grundgesamtheit aber sehr groß im Vergleich zur Stichprobe, etwa eine Umfrage unter wenigen hundert Personen aus Millionen, ist die Binomialverteilung eine gute Näherung. In Abituraufgaben wird das meist so vorausgesetzt oder im Text erwähnt.

Wie berechne ich Erwartungswert und Standardabweichung der Binomialverteilung?

Der Erwartungswert ist E(X) = n · p und beschreibt die durchschnittliche Trefferzahl bei vielen Wiederholungen. Die Standardabweichung ist die Wurzel aus n · p · (1-p) und misst, wie stark die Trefferzahl typischerweise um den Erwartungswert schwankt. Beide Formeln solltest du auswendig können.

Woran erkenne ich in der Aufgabe, welcher Fall gemeint ist?

Achte auf die Signalwörter: genau bedeutet P(X = k), höchstens bedeutet P(X ≤ k), mindestens bedeutet P(X ≥ k). Vorsicht bei mehr als k, das heißt X ≥ k+1, und bei weniger als k, das heißt X ≤ k-1. Schreib dir im Zweifel die passenden k-Werte als Liste auf.