Blog · Mathe · 2026-07-27

Aufgaben zur Integralrechnung: Üben mit Lösungen fürs Abi

Kurz gesagt: Typische Aufgaben zur Integralrechnung verlangen drei Schritte: Stammfunktion bilden (Potenzregel: aus x^n wird x^(n+1)/(n+1)), die Grenzen einsetzen und die Differenz F(b) minus F(a) berechnen. Bei Flächen zwischen Graph und x-Achse musst du zusätzlich die Nullstellen bestimmen, das Intervall dort aufteilen und die Beträge der Teilintegrale addieren. Wer Potenzregel, Grenzen-Einsetzen und Nullstellensuche sicher beherrscht, löst die meisten Grundkurs-Aufgaben.

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So gehst du bei Integralaufgaben vor

Fast jede Aufgabe im Grundkurs folgt demselben Muster. Merke dir diese vier Schritte:

Aufgabentyp erkennen: Sollst du nur das Integral berechnen oder eine Fläche? Das ist nicht dasselbe, denn Flächen unterhalb der x-Achse liefern negative Integralwerte.
Stammfunktion F(x) bilden: Jeden Summanden einzeln aufleiten. Aus x^n wird x^(n+1)/(n+1), konstante Faktoren bleiben stehen.
Grenzen einsetzen: Berechne F(b) minus F(a). Erst die obere Grenze, dann die untere. Immer in dieser Reihenfolge.
Ergebnis interpretieren: Bei Flächenaufgaben Beträge nehmen und die Einheit Flächeneinheiten (FE) angeben.

Klingt mechanisch? Ist es auch. Genau deshalb kannst du diese Aufgaben durch Üben fast fehlerfrei lösen.

Stammfunktionen: die Regeln, die du brauchst

Im Grundkurs reichen wenige Regeln. Diese solltest du auswendig können:

Potenzregel: f(x) = x^n ergibt F(x) = x^(n+1)/(n+1). Beispiel: aus x^3 wird x^4/4.
Konstante Funktion: f(x) = c ergibt F(x) = c mal x. Aus 5 wird also 5x.
Faktorregel: Ein Vorfaktor bleibt erhalten. Aus 6x^2 wird 6 mal x^3/3, also 2x^3.
Summenregel: Jeden Summanden einzeln aufleiten.
e-Funktion: f(x) = e^x ergibt F(x) = e^x. Bei f(x) = e^(kx) gilt F(x) = (1/k) mal e^(kx).

Beim unbestimmten Integral gehört immer ein +C dahinter, denn es gibt unendlich viele Stammfunktionen. Beim bestimmten Integral mit Grenzen fällt das C weg, weil es sich beim Subtrahieren aufhebt.

Schneller Selbsttest: Leite deine Stammfunktion ab. Kommt wieder f(x) heraus, hast du richtig gerechnet.

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Durchgerechnetes Beispiel: Fläche mit Nullstelle im Intervall

Aufgabe: Berechne die Fläche, die der Graph von f(x) = x^2 - 4 im Intervall [0; 3] mit der x-Achse einschließt.

Schritt 1: Nullstellen suchen. Aus x^2 - 4 = 0 folgt x = 2 oder x = -2. Nur x = 2 liegt im Intervall. Der Graph wechselt dort das Vorzeichen, also musst du das Intervall aufteilen.

Schritt 2: Stammfunktion bilden. F(x) = x^3/3 - 4x.

Schritt 3: Teilintegrale berechnen.

Integral von 0 bis 2: F(2) - F(0) = (8/3 - 8) - 0 = -16/3. Der Wert ist negativ, weil die Fläche unter der x-Achse liegt. Betrag: 16/3.
Integral von 2 bis 3: F(3) - F(2) = (9 - 12) - (8/3 - 8) = -3 + 16/3 = 7/3.

Schritt 4: Beträge addieren. Gesamtfläche A = 16/3 + 7/3 = 23/3, also ungefähr 7,67 FE.

Hättest du einfach von 0 bis 3 integriert, käme -3 heraus. Falsch als Flächenangabe, denn das positive und das negative Teilstück heben sich teilweise auf.

Übungsaufgaben mit Lösungen

Rechne erst selbst, dann vergleiche.

Aufgabe 1: Berechne das Integral von 1 bis 3 über f(x) = 2x + 1.

Lösung: F(x) = x^2 + x. Also F(3) - F(1) = (9 + 3) - (1 + 1) = 12 - 2 = 10.

Aufgabe 2: Bestimme eine Stammfunktion von f(x) = 3x^2 - 4x + 5.

Lösung: F(x) = x^3 - 2x^2 + 5x + C. Probe durch Ableiten: stimmt.

Aufgabe 3: Welche Fläche schließt der Graph von f(x) = -x^2 + 4 mit der x-Achse ein?

Lösung: Nullstellen bei x = -2 und x = 2. F(x) = -x^3/3 + 4x. Integral von -2 bis 2: F(2) - F(-2) = (-8/3 + 8) - (8/3 - 8) = 16 - 16/3 = 32/3, also rund 10,67 FE. Kein Betrag nötig, der Graph liegt komplett oberhalb der x-Achse.

Aufgabe 4: Berechne das Integral von 0 bis 1 über f(x) = e^x.

Lösung: F(x) = e^x. Also e^1 - e^0 = e - 1, gerundet 1,72.

Häufige Fehler und wie du sie vermeidest

Ableiten statt Aufleiten: Der Klassiker unter Zeitdruck. Aus x^2 wird x^3/3, nicht 2x. Schreibe dir zur Sicherheit die Potenzregel oben aufs Blatt.
Vorzeichenfehler bei der unteren Grenze: F(b) - F(a) bedeutet, dass du den kompletten Wert F(a) subtrahierst. Setze F(a) in Klammern, dann passiert beim Minuszeichen nichts.
Nullstellen ignoriert: Bei Flächenaufgaben immer zuerst prüfen, ob der Graph im Intervall die x-Achse schneidet. Sonst rechnest du Flächen gegeneinander auf.
Integralwert mit Fläche verwechselt: Ein Integral kann negativ sein, eine Fläche nie. Wenn die Aufgabe nach der Fläche fragt, brauchst du Beträge.
+C vergessen oder falsch gesetzt: Beim unbestimmten Integral gehört das C dazu, beim bestimmten Integral nicht.
Vorfaktor beim Aufleiten verrechnet: Aus 4x^3 wird 4 mal x^4/4 = x^4. Erst aufleiten, dann kürzen, nicht beides gleichzeitig im Kopf.

Checkliste für die Klausur

Geh vor der Abgabe diese Punkte durch:

Fragt die Aufgabe nach dem Integralwert oder nach der Fläche?
Nullstellen im Intervall bestimmt und das Intervall dort aufgeteilt?
Stammfunktion durch Ableiten überprüft?
Grenzen in der richtigen Reihenfolge eingesetzt: obere minus untere?
Untere Grenze mit Klammern eingesetzt, Vorzeichen kontrolliert?
Bei Flächen: Beträge gebildet, Ergebnis mit FE angegeben?
Rechenweg nachvollziehbar aufgeschrieben? Auch bei richtigem Ergebnis gibt es sonst Punktabzug.

Noch ein Tipp: Skizziere den Graphen kurz, wenn du dir bei Nullstellen oder Vorzeichen unsicher bist. Zwei Minuten Skizze sparen oft fünf Punkte.

Häufige Fragen

Was ist der Unterschied zwischen Integral und Fläche?

Das bestimmte Integral ist ein orientierter Wert: Flächenstücke unter der x-Achse zählen negativ. Die Fläche ist dagegen immer positiv. Für die Fläche teilst du das Intervall an den Nullstellen auf und addierst die Beträge der Teilintegrale.

Brauche ich das +C beim bestimmten Integral?

Nein. Das +C hebt sich beim Berechnen von F(b) minus F(a) auf, weil es in beiden Werten steckt. Nur beim unbestimmten Integral, also ohne Grenzen, musst du +C dazuschreiben.

Wie berechne ich die Fläche zwischen zwei Graphen?

Bilde die Differenzfunktion d(x) = f(x) - g(x) und bestimme deren Nullstellen, das sind die Schnittstellen der Graphen. Dann integrierst du d(x) zwischen den Schnittstellen. Liegt der Wert negativ vor, nimmst du den Betrag.

Welche Stammfunktionen muss ich im Grundkurs können?

Sicher sitzen sollten die Potenzregel für x^n, konstante Funktionen, die Faktor- und Summenregel sowie die e-Funktion mit e^x und e^(kx). Damit deckst du fast alle Klausur- und Abituraufgaben im Grundkurs ab.

Was bedeutet ein negatives Ergebnis beim Integral?

Der Graph verläuft in diesem Bereich unterhalb der x-Achse, das Integral zählt diese Fläche negativ. Das Ergebnis ist als Integralwert korrekt. Fragt die Aufgabe aber nach der Fläche, musst du den Betrag angeben.