Blog · Mathe · 2026-07-26

Aufgaben zur Kurvendiskussion: Schritt für Schritt lösen

Kurz gesagt: Eine Kurvendiskussion untersucht eine Funktion systematisch: Definitionsbereich, Symmetrie, Nullstellen, dann die Ableitungen bilden, Extrempunkte über f'(x) = 0 plus hinreichende Bedingung, Wendepunkte über f''(x) = 0, Verhalten für x gegen plus und minus unendlich und zum Schluss die Skizze des Graphen. Wer diese Reihenfolge bei jeder Aufgabe gleich abarbeitet, löst Aufgaben zur Kurvendiskussion sicher und ohne unnötigen Punktverlust.

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Das Grundgerüst: Diese Schritte gehören in jede Kurvendiskussion

Fast jede Aufgabe zur Kurvendiskussion folgt demselben Muster. Präg dir die Reihenfolge ein, dann musst du in der Klausur nicht mehr überlegen, was als Nächstes kommt.

Definitionsbereich: Bei ganzrationalen Funktionen sind das alle reellen Zahlen. Nur bei Brüchen oder Wurzeln musst du Werte ausschließen.
Symmetrie: Nur gerade Exponenten (x^2, x^4, Konstante)? Dann ist der Graph achsensymmetrisch zur y-Achse. Nur ungerade Exponenten (x, x^3)? Punktsymmetrisch zum Ursprung. Gemischt: keine einfache Symmetrie.
Nullstellen: Setze f(x) = 0. Ausklammern, pq-Formel oder Substitution helfen dir hier weiter.
Ableitungen: Bilde f'(x), f''(x) und bei Bedarf f'''(x). Sauber aufschreiben, du brauchst sie gleich mehrfach.
Extrempunkte: Notwendige Bedingung f'(x) = 0 lösen. Hinreichende Bedingung prüfen: f''(x) kleiner als 0 bedeutet Hochpunkt, f''(x) größer als 0 bedeutet Tiefpunkt. Danach die y-Koordinate mit f(x) berechnen, nicht mit f'(x).
Wendepunkte: Notwendige Bedingung f''(x) = 0. Hinreichend: f'''(x) ungleich 0 an dieser Stelle.
Verhalten im Unendlichen: Der Summand mit dem höchsten Exponenten entscheidet, wohin der Graph für x gegen plus und minus unendlich läuft.
Skizze: Trage alle berechneten Punkte ein und verbinde sie zu einem plausiblen Graphen.

Durchgerechnetes Beispiel: f(x) = x^3 - 3x^2

So sieht eine vollständige Lösung aus, wie sie in der Klausur volle Punktzahl bringt.

Definitionsbereich und Symmetrie: Ganzrationale Funktion, also sind alle reellen Zahlen erlaubt. Die Exponenten 3 und 2 sind gemischt, deshalb liegt keine einfache Symmetrie vor.

Nullstellen: f(x) = 0 führt zu x^3 - 3x^2 = 0. Ausklammern: x^2 mal (x - 3) = 0. Ergebnis: x = 0 (doppelte Nullstelle, der Graph berührt dort die x-Achse) und x = 3.

Ableitungen:

f'(x) = 3x^2 - 6x
f''(x) = 6x - 6
f'''(x) = 6

Extrempunkte: f'(x) = 0 ergibt 3x mal (x - 2) = 0, also x = 0 oder x = 2. Jetzt die hinreichende Bedingung: f''(0) = -6, das ist kleiner als 0, also Hochpunkt. f''(2) = 6, größer als 0, also Tiefpunkt. Die y-Werte liefert die Originalfunktion: f(0) = 0 und f(2) = 8 - 12 = -4. Ergebnis: Hochpunkt H(0|0), Tiefpunkt T(2|-4).

Wendepunkt: f''(x) = 0 ergibt 6x - 6 = 0, also x = 1. Da f'''(1) = 6 ungleich 0 ist, liegt tatsächlich ein Wendepunkt vor. Mit f(1) = 1 - 3 = -2 folgt: W(1|-2). Der Wendepunkt liegt übrigens genau zwischen Hoch- und Tiefpunkt. Bei Funktionen dritten Grades ist das immer so, ein guter Selbsttest.

Verhalten im Unendlichen: Der Term x^3 dominiert. Für x gegen plus unendlich geht f(x) gegen plus unendlich, für x gegen minus unendlich gegen minus unendlich.

Skizze: Von links unten kommend zum Hochpunkt (0|0), dann hinunter durch den Wendepunkt (1|-2) zum Tiefpunkt (2|-4), anschließend wieder aufwärts durch die Nullstelle bei x = 3.

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Drei Übungsaufgaben mit Kurzlösungen

Rechne erst selbst, dann vergleiche. Nutze dabei genau das Schema von oben.

Aufgabe 1: f(x) = x^3 - 3x

Punktsymmetrisch zum Ursprung (nur ungerade Exponenten)
Nullstellen: x = 0, x = Wurzel(3), x = -Wurzel(3)
Hochpunkt H(-1|2), Tiefpunkt T(1|-2)
Wendepunkt W(0|0)

Aufgabe 2: g(x) = x^4 - 4x^2

Achsensymmetrisch zur y-Achse (nur gerade Exponenten)
Nullstellen: x = 0 (doppelt), x = 2, x = -2
Hochpunkt H(0|0), Tiefpunkte bei x = Wurzel(2) und x = -Wurzel(2), jeweils mit y = -4
Wendestellen bei x = Wurzel(2/3) und x = -Wurzel(2/3)

Aufgabe 3: h(x) = -x^3 + 3x + 2

Keine einfache Symmetrie (wegen der Konstante 2)
Nullstellen: x = -1 (doppelt) und x = 2
Tiefpunkt T(-1|0), Hochpunkt H(1|4)
Wendepunkt W(0|2)
Achtung beim Vorzeichen: Wegen -x^3 kommt der Graph von links oben und läuft nach rechts unten

Häufige Fehler und wie du sie vermeidest

Die meisten Punkte gehen nicht durch fehlendes Wissen verloren, sondern durch vermeidbare Flüchtigkeitsfehler. Diese hier tauchen in Klausuren immer wieder auf.

y-Wert in die falsche Funktion eingesetzt: Die x-Werte der Extremstellen kommen aus f'(x) = 0, aber die y-Koordinate berechnest du immer mit der Originalfunktion f(x). Wer f'(x) nimmt, bekommt Unsinn heraus.
Hinreichende Bedingung vergessen: f'(x) = 0 allein beweist noch keinen Extrempunkt. Es könnte auch ein Sattelpunkt sein, wie bei f(x) = x^3 an der Stelle x = 0. Prüfe immer f''(x) oder das Vorzeichenwechselkriterium.
Ableitungsfehler ganz am Anfang: Ein falsches f'(x) zieht sich durch die gesamte Aufgabe. Nimm dir 20 Sekunden und kontrolliere jede Ableitung, bevor du weiterrechnest.
Durch x geteilt statt ausgeklammert: Bei 3x^2 - 6x = 0 darfst du nicht einfach durch x teilen, sonst verlierst du die Lösung x = 0. Immer ausklammern.
Vorzeichen bei negativen Zahlen: f(-1) bei f(x) = x^3 - 3x bedeutet (-1)^3 - 3 mal (-1) = -1 + 3 = 2. Setze negative Werte immer in Klammern ein.
Skizze passt nicht zu den Ergebnissen: Liegt dein Hochpunkt in der Skizze unter dem Tiefpunkt, stimmt etwas nicht. Die Skizze ist deine beste Kontrolle, nutze sie auch so.

Checkliste für die Klausur

Kurz vor der Abgabe? Geh diese Punkte durch, das dauert zwei Minuten und rettet oft mehrere Punkte.

Alle drei Ableitungen notiert und einmal gegengecheckt?
Bei jedem Extrempunkt die hinreichende Bedingung aufgeschrieben, nicht nur f'(x) = 0?
Alle y-Koordinaten mit f(x) berechnet?
Doppelte Nullstellen erkannt und richtig gedeutet (Berührpunkt statt Schnittpunkt)?
Wendepunkt mit f'''(x) ungleich 0 oder Vorzeichenwechsel von f''(x) begründet?
Verhalten im Unendlichen angegeben?
Skizze vorhanden, und passen alle berechneten Punkte hinein?
Antwortsätze bei Sachaufgaben formuliert?

Ein Tipp fürs Zeitmanagement: Rechne zuerst alle Pflichtschritte durch und verschönere die Skizze erst am Ende. Eine grobe, aber korrekte Skizze bringt mehr Punkte als eine schöne Zeichnung ohne fertige Rechnung.

Häufige Fragen

Was ist der Unterschied zwischen notwendiger und hinreichender Bedingung?

Die notwendige Bedingung f'(x) = 0 liefert Kandidaten für Extremstellen, beweist aber noch nichts. Erst die hinreichende Bedingung, also f''(x) ungleich 0 oder ein Vorzeichenwechsel von f'(x), bestätigt, dass dort wirklich ein Hoch- oder Tiefpunkt liegt. In der Klausur musst du beide Schritte aufschreiben, sonst gibt es Punktabzug.

Was mache ich, wenn f''(x) an der Stelle gleich 0 ist?

Dann liefert die zweite Ableitung keine Entscheidung. Nutze stattdessen das Vorzeichenwechselkriterium: Setze einen Wert kurz vor und kurz nach der Stelle in f'(x) ein. Wechselt das Vorzeichen von plus nach minus, liegt ein Hochpunkt vor, von minus nach plus ein Tiefpunkt. Kein Wechsel bedeutet Sattelpunkt.

Wie finde ich Nullstellen bei Funktionen dritten Grades?

Wenn kein konstantes Glied da ist, klammere x aus und löse den Rest mit der pq-Formel. Steht eine Konstante in der Funktion, probiere kleine ganze Zahlen wie 1, -1, 2 oder -2 aus und teile dann mit Polynomdivision durch den gefundenen Linearfaktor. Im Grundkurs sind die Aufgaben fast immer so gebaut, dass eine dieser Methoden funktioniert.

Muss ich in der Klausur immer alle Schritte der Kurvendiskussion machen?

Nein, lies die Aufgabenstellung genau. Oft wird nur nach Extrempunkten oder nur nach Wendepunkten gefragt, dann kostet der Rest nur Zeit. Steht dort aber untersuchen Sie den Graphen vollständig, gehört das komplette Schema inklusive Skizze dazu.

Was bedeutet eine doppelte Nullstelle für den Graphen?

Bei einer doppelten Nullstelle berührt der Graph die x-Achse nur, ohne sie zu schneiden, und dort liegt gleichzeitig ein Extrempunkt. Bei einer einfachen Nullstelle schneidet der Graph die Achse und wechselt das Vorzeichen. Das erkennst du am Exponenten des Linearfaktors, etwa bei x^2 mal (x - 3).