Blog · Mathe · 2026-08-01

Ableitung e-Funktion: Übungen mit Lösungen für die Oberstufe

Kurz gesagt: Die Ableitung von e^x ist e^x selbst. Steht im Exponenten eine Funktion, brauchst du die Kettenregel: Die Ableitung von e^(u(x)) ist u'(x) · e^(u(x)). Beispiel: f(x) = e^(3x) hat die Ableitung f'(x) = 3 · e^(3x). Bei Produkten wie x · e^x kommt zusätzlich die Produktregel zum Einsatz. Übe genau diese drei Fälle: reines e^x, Kettenregel und Produktregel.

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Die Grundregel: Warum e^x so besonders ist

Die natürliche Exponentialfunktion f(x) = e^x hat eine Eigenschaft, die keine andere Funktion besitzt: Sie ist ihre eigene Ableitung. Es gilt also f'(x) = e^x. Das bedeutet auch, dass jede weitere Ableitung wieder e^x ergibt.

Warum ist das so? Die Zahl e (ungefähr 2,718) ist genau so definiert, dass die Steigung der Funktion e^x an jeder Stelle gleich dem Funktionswert ist. Bei x = 0 hat der Graph den Wert 1 und die Steigung 1. Bei x = 2 hat er den Wert e^2 und die Steigung e^2.

Ein konstanter Faktor bleibt beim Ableiten einfach stehen:

f(x) = 5 · e^x hat die Ableitung f'(x) = 5 · e^x
f(x) = -2 · e^x hat die Ableitung f'(x) = -2 · e^x
f(x) = e^x + x^2 hat die Ableitung f'(x) = e^x + 2x

Merke dir: Der Exponent x wandert nicht nach vorne. Die Potenzregel gilt hier nicht, denn bei e^x steht die Variable im Exponenten, nicht in der Basis.

Kettenregel bei e^(u(x)): Schritt für Schritt

Sobald im Exponenten mehr als nur x steht, brauchst du die Kettenregel. Die Formel: Die Ableitung von e^(u(x)) ist u'(x) · e^(u(x)). In Worten: innere Ableitung mal äußere Funktion, und die e-Funktion bleibt dabei komplett unverändert.

So gehst du vor:

Innere Funktion erkennen: Alles, was im Exponenten steht, ist u(x).
Innere Ableitung bilden: Leite u(x) normal ab, das ergibt u'(x).
Zusammensetzen: Schreibe u'(x) als Faktor vor die unveränderte e-Funktion.

Beispiele:

f(x) = e^(3x): innere Funktion u(x) = 3x, innere Ableitung u'(x) = 3, also f'(x) = 3 · e^(3x)
f(x) = e^(-x): u(x) = -x, u'(x) = -1, also f'(x) = -e^(-x)
f(x) = e^(x^2): u(x) = x^2, u'(x) = 2x, also f'(x) = 2x · e^(x^2)
f(x) = 4 · e^(0,5x): der Faktor 4 bleibt, innere Ableitung ist 0,5, also f'(x) = 4 · 0,5 · e^(0,5x) = 2 · e^(0,5x)

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Produktregel: Wenn x und e^x gemeinsam auftreten

Funktionen wie f(x) = x · e^x sind Klausur-Klassiker. Hier stehen zwei Funktionen als Produkt, also brauchst du die Produktregel: Die Ableitung von u(x) · v(x) ist u'(x) · v(x) + u(x) · v'(x).

Durchgerechnetes Beispiel für f(x) = x · e^x:

Setze u(x) = x und v(x) = e^x.
Bilde die Einzelableitungen: u'(x) = 1 und v'(x) = e^x.
Setze in die Formel ein: f'(x) = 1 · e^x + x · e^x.
Klammere e^x aus: f'(x) = (1 + x) · e^x.

Das Ausklammern im letzten Schritt ist kein Selbstzweck. Wenn du später Nullstellen der Ableitung suchst, etwa für Extremstellen, hilft dir die faktorisierte Form enorm. Da e^x niemals null wird, musst du nur 1 + x = 0 lösen. Ergebnis: x = -1 ist die einzige Kandidatenstelle.

Noch ein Beispiel mit Kombination aus Produkt- und Kettenregel: f(x) = x^2 · e^(2x). Hier ist u(x) = x^2 mit u'(x) = 2x und v(x) = e^(2x) mit v'(x) = 2 · e^(2x). Also: f'(x) = 2x · e^(2x) + x^2 · 2 · e^(2x) = 2x · (1 + x) · e^(2x).

Übungsaufgaben mit Lösungen

Erst selbst rechnen, dann vergleichen. Die Aufgaben sind nach Schwierigkeit sortiert.

Level 1: Grundregel

f(x) = 3 · e^x
f(x) = e^x - 4x + 7
f(x) = -0,5 · e^x + x^3

Lösungen: 1) f'(x) = 3 · e^x. 2) f'(x) = e^x - 4. 3) f'(x) = -0,5 · e^x + 3x^2.

Level 2: Kettenregel

f(x) = e^(4x)
f(x) = e^(-2x)
f(x) = 5 · e^(0,2x)
f(x) = e^(x^2 + 1)

Lösungen: 1) f'(x) = 4 · e^(4x). 2) f'(x) = -2 · e^(-2x). 3) f'(x) = 5 · 0,2 · e^(0,2x) = e^(0,2x). 4) f'(x) = 2x · e^(x^2 + 1).

Level 3: Produktregel

f(x) = x · e^(2x)
f(x) = (x - 3) · e^x
f(x) = x^2 · e^(-x)

Lösungen: 1) f'(x) = 1 · e^(2x) + x · 2 · e^(2x) = (1 + 2x) · e^(2x). 2) f'(x) = 1 · e^x + (x - 3) · e^x = (x - 2) · e^x. 3) f'(x) = 2x · e^(-x) + x^2 · (-1) · e^(-x) = (2x - x^2) · e^(-x) = x · (2 - x) · e^(-x).

Alle drei Level-3-Aufgaben richtig? Dann bist du für den Grundkurs gut aufgestellt.

Häufige Fehler und wie du sie vermeidest

Potenzregel falsch angewendet: Aus e^x wird nicht x · e^(x-1). Die Potenzregel gilt nur, wenn die Variable in der Basis steht, wie bei x^3. Bei e^x steht sie im Exponenten.
Innere Ableitung vergessen: Die Ableitung von e^(3x) ist 3 · e^(3x), nicht einfach e^(3x). Kontrollfrage vor jedem Aufschreiben: Steht im Exponenten mehr als nur x?
Vorzeichen bei e^(-x) verschluckt: Die innere Ableitung von -x ist -1. Also ist die Ableitung von e^(-x) gleich -e^(-x). Ein sehr beliebter Punktabzug.
Exponent verändert: Beim Ableiten von e^(u(x)) bleibt der Exponent komplett gleich. Nur der Faktor u'(x) kommt neu dazu.
Produktregel übersprungen: Bei x · e^x kannst du nicht beide Faktoren einzeln ableiten und multiplizieren. Das Ergebnis 1 · e^x wäre falsch. Sobald zwei x-abhängige Faktoren da sind, führt kein Weg an der Produktregel vorbei.
e^x = 0 gesetzt: Bei der Nullstellensuche der Ableitung gilt immer: e^x ist für jedes x positiv. Nullstellen können nur aus dem anderen Faktor kommen.

Checkliste fürs Vorgehen in der Klausur

Arbeite jede Ableitungsaufgabe mit e-Funktion in dieser Reihenfolge ab:

Struktur erkennen: Steht dort nur e^x, ein e^(u(x)) oder ein Produkt zweier Funktionen?
Regel wählen: Grundregel, Kettenregel oder Produktregel, gegebenenfalls kombiniert.
Bei Kettenregel: Innere Funktion aufschreiben, ableiten, als Faktor davorsetzen. Exponent unverändert lassen.
Bei Produktregel: u, v, u' und v' sauber notieren, dann in die Formel u'v + uv' einsetzen. Das gibt Teilpunkte, selbst wenn dir später ein Rechenfehler passiert.
Ausklammern: e-Term ausklammern und das Ergebnis vereinfachen. Für Extremstellen brauchst du die faktorisierte Form sowieso.
Plausibilitätscheck: Taucht der ursprüngliche e-Term unverändert im Ergebnis auf? Wenn nicht, hast du vermutlich den Exponenten verändert. Nochmal prüfen.

Häufige Fragen

Warum ist die Ableitung von e^x wieder e^x?

Die Zahl e ist genau so gewählt, dass die Exponentialfunktion an jeder Stelle eine Steigung hat, die dem Funktionswert entspricht. Bei anderen Basen wie 2^x kommt beim Ableiten ein zusätzlicher Faktor dazu, nur bei der Basis e ist dieser Faktor exakt 1. Deshalb spielt e^x in der Analysis eine so zentrale Rolle.

Wie leite ich e^(-x) ab?

Mit der Kettenregel: Die innere Funktion ist -x, ihre Ableitung ist -1. Also ist die Ableitung von e^(-x) gleich -1 · e^(-x), kurz -e^(-x). Das Minuszeichen wird oft vergessen und kostet in Klausuren regelmäßig Punkte.

Was ist die Ableitung von 2^x oder allgemein a^x?

Für a^x gilt: Die Ableitung ist ln(a) · a^x. Bei 2^x also ln(2) · 2^x. Das folgt daraus, dass man a^x als e^(ln(a) · x) umschreiben kann und dann die Kettenregel anwendet. Für e^x ergibt die Formel wegen ln(e) = 1 wieder e^x.

Wie bilde ich die zweite Ableitung einer e-Funktion?

Leite die erste Ableitung einfach noch einmal mit denselben Regeln ab. Beispiel: f(x) = e^(2x) hat f'(x) = 2 · e^(2x) und f''(x) = 4 · e^(2x). Bei Produkten wie (1 + x) · e^x brauchst du erneut die Produktregel, hier ergibt sich (2 + x) · e^x.

Wann brauche ich bei e-Funktionen die Quotientenregel?

Nur wenn eine e-Funktion im Nenner eines Bruchs steht, den du nicht umschreiben kannst oder willst. Oft geht es einfacher: Ein Term wie 1/e^x lässt sich als e^(-x) schreiben, dann reicht die Kettenregel. Prüfe also vor dem Ableiten, ob sich der Bruch als Potenz umformen lässt.