Blog · Mathe · 2026-08-05

Wahrscheinlichkeitsrechnung: Aufgaben mit Lösung zum Üben

Kurz gesagt: Aufgaben zur Wahrscheinlichkeitsrechnung löst du im Grundkurs mit vier Werkzeugen: Laplace-Formel, Baumdiagramm mit Pfadregeln, Vierfeldertafel für bedingte Wahrscheinlichkeiten und Binomialverteilung. Der sichere Lösungsweg hat vier Schritte: Zufallsexperiment beschreiben, passendes Modell wählen, Formel anwenden, Ergebnis im Sachkontext deuten. Zwei vollständig durchgerechnete Beispiele mit Lösung, typische Fehler und eine Klausur-Checkliste findest du direkt hier im Text.

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Diese Aufgabentypen kommen im Grundkurs wirklich dran

Bevor du wahllos PDFs herunterlädst: Prüfe, ob die Aufgaben zu deinem Kurs passen. Im Berliner Grundkurs drehen sich Klausuraufgaben fast immer um diese vier Typen:

Laplace-Experimente: Alle Ergebnisse sind gleich wahrscheinlich. Formel: P(A) = Anzahl der günstigen Ergebnisse / Anzahl der möglichen Ergebnisse. Klassiker: Würfel, Münze, Glücksrad.
Mehrstufige Experimente mit Baumdiagramm: Ziehen mit oder ohne Zurücklegen. Pfadmultiplikationsregel entlang eines Pfads, Pfadadditionsregel über mehrere Pfade.
Bedingte Wahrscheinlichkeit und Vierfeldertafel: Aufgaben mit Formulierungen wie "unter der Bedingung, dass" oder "von den getesteten Personen".
Binomialverteilung: Ein Experiment mit genau zwei Ausgängen wird n-mal unabhängig wiederholt. Dazu gehören Erwartungswert E(X) = n * p und Fragen nach "mindestens" oder "höchstens".

Gute kostenlose Quellen sind die alten Berliner Abituraufgaben und die Übungsaufgaben deines Lehrbuchs. Aber ehrlich: Ein PDF bringt dir nur etwas, wenn du die Lösungswege verstehst. Genau dafür sind die nächsten Abschnitte da.

Schritt für Schritt: So gehst du an jede Stochastik-Aufgabe

Experiment beschreiben. Was passiert? Wie oft wird gezogen, gewürfelt, getestet? Mit oder ohne Zurücklegen? Schreib es in einem Satz auf.
Modell wählen. Einstufig und alles gleich wahrscheinlich: Laplace. Mehrstufig: Baumdiagramm. Feste Anzahl unabhängiger Wiederholungen mit Treffer oder Niete: Binomialverteilung. Zwei Merkmale in einer Gruppe: Vierfeldertafel.
Ereignis übersetzen. Formuliere das gesuchte Ereignis mathematisch, zum Beispiel "mindestens eine rote Kugel" als Gegenereignis "keine rote Kugel".
Rechnen. Formel hinschreiben, Werte einsetzen, ausrechnen. Zwischenergebnisse notieren, das gibt Teilpunkte.
Im Kontext antworten. Ein Satz wie "Die Wahrscheinlichkeit, dass beide Kugeln rot sind, beträgt etwa 6,7 Prozent" gehört immer dazu.

Klingt simpel? Ist es auch. Die meisten Punkte gehen verloren, weil Schritt 1 und 2 übersprungen werden und dann das falsche Modell gerechnet wird.

Tipp: Genau das kannst du bei ApexAbi kostenlos üben, mit sofortiger Korrektur wie in der Klausur.

Beispiel 1 mit Lösung: Ziehen ohne Zurücklegen

Aufgabe: In einer Urne liegen 3 rote und 7 blaue Kugeln. Du ziehst zweimal ohne Zurücklegen. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass a) beide Kugeln rot sind und b) mindestens eine Kugel rot ist.

Lösung a): Mehrstufiges Experiment ohne Zurücklegen, also Baumdiagramm. Erste Stufe: P(rot) = 3/10. Zweite Stufe: Jetzt sind nur noch 9 Kugeln in der Urne, davon 2 rote. Also P(rot im zweiten Zug) = 2/9. Pfadmultiplikationsregel:

P(rot, rot) = 3/10 * 2/9 = 6/90 = 1/15, also ungefähr 0,067.

Antwortsatz: Die Wahrscheinlichkeit, zwei rote Kugeln zu ziehen, beträgt etwa 6,7 Prozent.

Lösung b): "Mindestens eine rote" direkt zu rechnen bedeutet drei Pfade addieren. Schneller geht das Gegenereignis "keine rote Kugel", also zweimal blau:

P(blau, blau) = 7/10 * 6/9 = 42/90 = 7/15

P(mindestens eine rote) = 1 minus 7/15 = 8/15, also ungefähr 0,533.

Antwortsatz: Mit einer Wahrscheinlichkeit von rund 53,3 Prozent ist mindestens eine der beiden Kugeln rot.

Beispiel 2 mit Lösung: Binomialverteilung

Aufgabe: Ein Multiple-Choice-Test hat 10 Fragen mit je 4 Antwortmöglichkeiten, genau eine ist richtig. Jemand kreuzt rein zufällig an. Berechne a) die Wahrscheinlichkeit für genau 3 richtige Antworten, b) die Wahrscheinlichkeit für mindestens eine richtige Antwort und c) den Erwartungswert der richtigen Antworten.

Modell prüfen: 10 unabhängige Wiederholungen, jede Frage ist Treffer (richtig) oder Niete (falsch), Trefferwahrscheinlichkeit konstant p = 0,25. Also ist X binomialverteilt mit n = 10 und p = 0,25.

Lösung a): Formel: P(X = k) = (n über k) * p^k * (1 minus p)^(n minus k). Einsetzen:

P(X = 3) = (10 über 3) * 0,25^3 * 0,75^7 = 120 * 0,015625 * 0,1335 und das ergibt ungefähr 0,250.

Lösung b): Gegenereignis nutzen: P(X größer oder gleich 1) = 1 minus P(X = 0) = 1 minus 0,75^10. Da 0,75^10 ungefähr 0,0563 ist, folgt: ungefähr 0,944.

Lösung c): E(X) = n * p = 10 * 0,25 = 2,5. Wer rät, hat also im Schnitt 2,5 richtige Antworten. Fürs Bestehen reicht das erfahrungsgemäß nicht.

Häufige Fehler und wie du sie vermeidest

Mit und ohne Zurücklegen verwechselt. Ohne Zurücklegen ändern sich die Wahrscheinlichkeiten auf der zweiten Stufe. Kontrolle: Wird die Kugel zurückgelegt oder Personen doppelt gezählt? Wenn nein, Nenner anpassen.
"Mindestens" falsch übersetzt. "Mindestens eins" heißt nicht "genau eins". Fast immer ist der Weg über das Gegenereignis kürzer: P(mindestens eins) = 1 minus P(keins).
Pfadregeln vertauscht. Entlang eines Pfads wird multipliziert, über mehrere Pfade wird addiert. Nie umgekehrt.
Binomialverteilung ohne Voraussetzungscheck. Beim Ziehen ohne Zurücklegen ist p nicht konstant, dann ist die Binomialverteilung streng genommen falsch. In der Klausur kurz begründen, warum das Modell passt: gleiche Wiederholungen, zwei Ausgänge, konstantes p, Unabhängigkeit.
Bedingte Wahrscheinlichkeit falsch herum. P(A unter der Bedingung B) ist nicht dasselbe wie P(B unter der Bedingung A). Eine Vierfeldertafel mit absoluten Zahlen macht den Unterschied sichtbar.
Kein Antwortsatz. Ohne Interpretation im Sachkontext fehlen dir sichere Punkte. Ein Satz genügt.

Checkliste für die Klausur

Geh diese Punkte bei jeder Aufgabe durch, dauert keine Minute:

Habe ich das Experiment in einem Satz beschrieben? Mit oder ohne Zurücklegen geklärt?
Passt mein Modell: Laplace, Baumdiagramm, Vierfeldertafel oder Binomialverteilung?
Steht die verwendete Formel sichtbar auf dem Blatt, bevor ich Zahlen einsetze?
Bei "mindestens" oder "höchstens": Gegenereignis geprüft?
Liegt mein Ergebnis zwischen 0 und 1? Alles andere ist sicher falsch.
Plausibilitätscheck: Passt die Größenordnung zum Sachverhalt?
Antwortsatz mit Prozentangabe und Bezug zur Aufgabe geschrieben?
Rundung erst am Ende, Zwischenergebnisse mit mehr Nachkommastellen weiterrechnen.

Und beim Üben mit Aufgaben-PDFs: Erst selbst rechnen, dann die Lösung ansehen. Wer Lösungen nur liest, trainiert Lesen, nicht Rechnen.

Häufige Fragen

Wo finde ich gute Aufgaben zur Wahrscheinlichkeitsrechnung mit Lösung als PDF?

Am verlässlichsten sind die offiziellen Abituraufgaben der letzten Jahre aus Berlin und die Übungsteile deines eingeführten Lehrbuchs, oft mit Lösungsheft. Frag auch deine Lehrkraft nach alten Klausuren. Wichtig ist, dass die Aufgaben Lösungswege zeigen und nicht nur Endergebnisse.

Woran erkenne ich, ob ich mit oder ohne Zurücklegen rechnen muss?

Lies genau, was mit dem gezogenen Objekt passiert. Wird eine Kugel zurückgelegt oder eine Frage mehrfach gestellt, bleiben die Wahrscheinlichkeiten gleich. Wird nichts zurückgelegt oder werden Personen ausgewählt, ändern sich Gesamtzahl und günstige Fälle auf jeder Stufe.

Wann darf ich die Binomialverteilung benutzen?

Wenn vier Bedingungen erfüllt sind: feste Anzahl n von Wiederholungen, genau zwei Ausgänge pro Durchgang, konstante Trefferwahrscheinlichkeit p und Unabhängigkeit der Durchgänge. Typische Signalwörter in Aufgaben sind Stichprobe, Trefferquote oder ein Prozentsatz, der für jeden Versuch gilt.

Wie rechne ich Aufgaben mit mindestens oder höchstens?

Mindestens k bedeutet k oder mehr, höchstens k bedeutet k oder weniger. Bei mindestens eins rechnest du am schnellsten über das Gegenereignis: 1 minus die Wahrscheinlichkeit für null Treffer. Bei höchstens k addierst du die Wahrscheinlichkeiten von 0 bis k oder nutzt die kumulierte Binomialverteilung im Taschenrechner.

Was ist der Unterschied zwischen P(A und B) und P(A unter der Bedingung B)?

P(A und B) ist die Wahrscheinlichkeit, dass beide Ereignisse gemeinsam eintreten, bezogen auf alle Fälle. P(A unter der Bedingung B) bezieht sich nur auf die Fälle, in denen B bereits eingetreten ist. Rechnerisch gilt: P(A unter der Bedingung B) = P(A und B) / P(B). Eine Vierfeldertafel mit absoluten Zahlen macht den Unterschied anschaulich.