Blog · Mathe · 2026-08-02

Extremwertaufgaben mit Lösungen: Schritt für Schritt zum Ziel

Kurz gesagt: Extremwertaufgaben löst du in fünf Schritten: Zielgröße als Funktion aufstellen, die Nebenbedingung nach einer Variablen umstellen und in die Zielfunktion einsetzen, dann ableiten, die Ableitung gleich null setzen und die Lösung mit der zweiten Ableitung oder einem Vorzeichenwechsel als Maximum oder Minimum nachweisen. Zum Schluss prüfst du die Randwerte des Definitionsbereichs und formulierst einen Antwortsatz mit Einheiten.

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Worum geht es bei Extremwertaufgaben?

Eine Größe soll möglichst groß oder möglichst klein werden: die Fläche eines Geheges, das Volumen einer Schachtel, die Kosten einer Verpackung. Das ist der Kern jeder Extremwertaufgabe. Du suchst also kein x, das eine Gleichung erfüllt, sondern das x, bei dem eine Funktion ihr Maximum oder Minimum annimmt.

Dafür brauchst du immer zwei Zutaten:

Die Nebenbedingung sorgt dafür, dass am Ende nur noch eine Variable übrig bleibt. Erst dann kannst du ableiten und das Extremum bestimmen. Genau das Werkzeug also, das du aus der Kurvendiskussion kennst, nur eingebettet in eine Sachsituation.

Die Fünf-Schritte-Methode

  1. Zielfunktion aufstellen. Was soll maximal oder minimal werden? Schreibe die Größe als Term, meist mit zwei Variablen. Beispiel: A = x mal y.
  2. Nebenbedingung finden und umstellen. Suche im Text die Bedingung, die x und y verbindet. Stelle sie nach einer Variablen um, etwa y = 40 - 2x.
  3. Einsetzen. Setze die umgestellte Nebenbedingung in die Zielfunktion ein. Jetzt hast du eine Funktion mit nur einer Variablen, zum Beispiel A(x) = x mal (40 - 2x). Notiere auch den Definitionsbereich: Welche x-Werte sind in der Sachsituation überhaupt sinnvoll?
  4. Extremstelle berechnen. Bilde A'(x), setze A'(x) = 0 und löse nach x auf.
  5. Nachweis und Antwortsatz. Prüfe mit A''(x) oder einem Vorzeichenwechsel von A'(x), ob wirklich ein Maximum oder Minimum vorliegt. Vergleiche mit den Randwerten des Definitionsbereichs. Dann: alle gesuchten Größen berechnen und einen Antwortsatz mit Einheiten schreiben.

Klingt nach viel? Nach zwei bis drei Übungsaufgaben läuft dieses Schema fast automatisch ab.

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Beispiel 1: Rechteckiges Gehege an einer Hauswand

Aufgabe: Ein rechteckiges Gehege soll an einer Hauswand entstehen. Die Wand bildet eine Seite, für die anderen drei Seiten stehen 40 Meter Zaun zur Verfügung. Wie müssen die Seiten gewählt werden, damit die Fläche maximal wird?

Schritt 1, Zielfunktion: Die Fläche soll maximal werden. Mit den Seitenlängen x (die beiden Seiten senkrecht zur Wand) und y (die Seite parallel zur Wand) gilt: A = x mal y.

Schritt 2, Nebenbedingung: Der Zaun umfasst zwei Seiten der Länge x und eine Seite der Länge y, also 2x + y = 40. Umgestellt: y = 40 - 2x.

Schritt 3, Einsetzen: A(x) = x mal (40 - 2x) = 40x - 2x². Definitionsbereich: 0 < x < 20, denn beide Seitenlängen müssen positiv sein.

Schritt 4, Extremstelle: A'(x) = 40 - 4x. Aus A'(x) = 0 folgt 40 - 4x = 0, also x = 10.

Schritt 5, Nachweis: A''(x) = -4, und das ist kleiner als null. Bei x = 10 liegt also ein Maximum. An den Rändern des Definitionsbereichs geht die Fläche gegen 0, das Maximum bei x = 10 ist damit auch global. Zweite Seite: y = 40 - 2 mal 10 = 20. Fläche: A(10) = 10 mal 20 = 200.

Antwortsatz: Das Gehege wird mit den Seitenlängen 10 m und 20 m maximal groß. Die maximale Fläche beträgt 200 m².

Beispiel 2: Zwei Zahlen mit maximalem Produkt

Kürzeres Beispiel, gleiches Schema. Aufgabe: Zwei positive Zahlen haben die Summe 20. Für welche Zahlen wird ihr Produkt maximal?

Antwort: Beide Zahlen sind 10, das maximale Produkt beträgt 100. Merkst du das Muster? Bei fester Summe wird das Produkt maximal, wenn beide Werte gleich groß sind.

Häufige Fehler und wie du sie vermeidest

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Häufige Fragen

Woher weiß ich, was die Zielfunktion und was die Nebenbedingung ist?

Die Zielfunktion beschreibt die Größe, die maximal oder minimal werden soll. Signalwörter sind möglichst groß, maximal, minimal oder optimal. Die Nebenbedingung ist die feste Vorgabe im Text, etwa eine gegebene Zaunlänge, ein fester Umfang oder eine begrenzte Materialmenge.

Muss ich immer die zweite Ableitung für den Nachweis benutzen?

Nein, der Nachweis über den Vorzeichenwechsel der ersten Ableitung ist genauso gültig. Die zweite Ableitung ist bei Extremwertaufgaben aber oft schneller, weil die Zielfunktion meist eine einfache ganzrationale Funktion ist. Wichtig ist nur, dass du überhaupt einen Nachweis führst.

Was mache ich, wenn ich keine Nebenbedingung finde?

Dann hängt die Zielfunktion vermutlich schon von nur einer Variablen ab und du kannst direkt ableiten. Das kommt zum Beispiel vor, wenn ein Punkt auf einem Funktionsgraphen ein Rechteck aufspannt. Prüfe trotzdem, ob im Text eine feste Vorgabe versteckt ist, etwa in einer Skizze oder einer Maßangabe.

Wie bestimme ich den Definitionsbereich bei einer Extremwertaufgabe?

Überlege, welche Werte in der Sachsituation sinnvoll sind. Längen, Flächen und Volumina müssen positiv sein, und die Nebenbedingung liefert oft eine obere Grenze. Beim Zaunbeispiel mit y = 40 - 2x muss y positiv bleiben, also gilt 0 < x < 20.

Warum muss ich die Randwerte überprüfen?

Die Ableitung findet nur Extremstellen im Inneren des Definitionsbereichs. Das globale Maximum oder Minimum kann aber am Rand des Intervalls liegen, ohne dass die Ableitung dort null wird. Ein kurzer Vergleich der Funktionswerte an den Rändern mit deinem berechneten Extremum sichert die Antwort ab.

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