Blog · Mathe · 2026-08-05
Extremwertaufgaben: Übungen mit Lösungen zum Durchrechnen
Kurz gesagt: Extremwertaufgaben löst du immer nach demselben Schema: Zielgröße benennen, Nebenbedingung aus dem Text aufstellen, damit die Zielfunktion auf eine Variable reduzieren, ableiten, Nullstellen der Ableitung bestimmen, mit der zweiten Ableitung oder einem Vorzeichenwechsel prüfen und zum Schluss Definitionsbereich und Randwerte kontrollieren. Weiter unten findest du drei Übungsaufgaben mit vollständigen Lösungen, die du über die Druckfunktion des Browsers als PDF speichern kannst.
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Die 6-Schritte-Strategie für jede Extremwertaufgabe
Egal ob Zaun, Schachtel oder Zahlenrätsel: Der Fahrplan bleibt gleich. Wer ihn beherrscht, kann jede Standardaufgabe knacken.
- Zielgröße festlegen: Was soll maximal oder minimal werden? Fläche, Volumen, Produkt? Schreib die Formel auf, meist mit zwei Variablen, z. B. A = x * y.
- Nebenbedingung finden: Der Aufgabentext liefert eine zweite Gleichung, etwa einen festen Umfang oder eine feste Summe. Beispiel: 2x + y = 100.
- Zielfunktion aufstellen: Löse die Nebenbedingung nach einer Variablen auf und setze sie in die Zielgröße ein. Ergebnis: eine Funktion mit nur einer Variablen, z. B. A(x).
- Ableiten und Nullsetzen: Bilde A'(x) und löse A'(x) = 0. Die Lösungen sind Kandidaten für Extremstellen.
- Art des Extremums prüfen: Zweite Ableitung einsetzen. Ist A''(x) kleiner als 0, liegt ein Maximum vor, ist sie größer als 0, ein Minimum. Alternativ prüfst du den Vorzeichenwechsel von A'.
- Antwortsatz mit allen Größen: Berechne die zweite Variable und den Extremwert. Prüfe außerdem, ob dein Ergebnis im Definitionsbereich liegt. Längen dürfen zum Beispiel nicht negativ sein.
Klingt nach viel? In der Praxis dauert das Schema mit Übung keine zehn Minuten.
Durchgerechnetes Beispiel: Zaun am Fluss
Aufgabe: Ein rechteckiges Weidestück grenzt an einen Fluss. Es müssen nur drei Seiten eingezäunt werden, 100 m Zaun stehen zur Verfügung. Für welche Maße wird die Fläche maximal?
Schritt 1, Zielgröße: Die Fläche A = x * y soll maximal werden. Dabei ist x die Seitenlänge senkrecht zum Fluss (kommt zweimal vor) und y die Seite parallel zum Fluss.
Schritt 2, Nebenbedingung: 2x + y = 100, also y = 100 - 2x.
Schritt 3, Zielfunktion: A(x) = x * (100 - 2x) = 100x - 2x^2. Definitionsbereich: 0 < x < 50, sonst gäbe es kein Rechteck.
Schritt 4, Ableitung: A'(x) = 100 - 4x. Nullsetzen: 100 - 4x = 0, also x = 25.
Schritt 5, Prüfung: A''(x) = -4. Das ist kleiner als 0, also liegt bei x = 25 ein Maximum vor.
Schritt 6, Antwort: y = 100 - 2 * 25 = 50. Die Weide wird 25 m mal 50 m groß, die maximale Fläche beträgt A = 25 * 50 = 1250 m². Beide Werte liegen im Definitionsbereich. Fertig.
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Drei Übungsaufgaben zum Selbstrechnen
Nimm dir pro Aufgabe etwa 10 Minuten. Erst rechnen, dann die Lösungen im nächsten Abschnitt kontrollieren.
- Rechteck mit festem Umfang: Ein Rechteck hat den Umfang 40 cm. Bestimme die Seitenlängen, für die der Flächeninhalt maximal wird.
- Zahlenrätsel: Zwei positive Zahlen haben die Summe 20. Bestimme die Zahlen so, dass ihr Produkt maximal wird.
- Offene Schachtel: Aus einem quadratischen Karton mit 12 cm Seitenlänge werden an allen vier Ecken gleich große Quadrate der Seitenlänge x herausgeschnitten. Die Ränder werden hochgeklappt, es entsteht eine oben offene Schachtel. Für welches x wird das Volumen maximal? Wie groß ist es?
Lösungen mit Rechenweg
Lösung 1: Zielgröße A = x * y, Nebenbedingung 2x + 2y = 40, also y = 20 - x. Zielfunktion: A(x) = x * (20 - x) = 20x - x^2. Ableitung: A'(x) = 20 - 2x, Nullstelle bei x = 10. Wegen A''(x) = -2 < 0 ein Maximum. Also y = 10. Das optimale Rechteck ist ein Quadrat mit 10 cm mal 10 cm und A = 100 cm².
Lösung 2: Zielgröße P = a * b, Nebenbedingung a + b = 20, also b = 20 - a. Zielfunktion: P(a) = 20a - a^2. Ableitung: P'(a) = 20 - 2a, Nullstelle bei a = 10. P''(a) = -2 < 0, Maximum. Beide Zahlen sind 10, das maximale Produkt ist 100. Merkst du das Muster? Bei fester Summe ist das Produkt maximal, wenn beide Größen gleich sind.
Lösung 3: Volumen V(x) = x * (12 - 2x)^2. Ausmultipliziert: V(x) = 4x^3 - 48x^2 + 144x mit 0 < x < 6. Ableitung: V'(x) = 12x^2 - 96x + 144 = 12 * (x^2 - 8x + 12). Nullsetzen liefert x = 2 und x = 6. Der Wert x = 6 liegt am Rand des Definitionsbereichs und ergibt V = 0, fällt also weg. Prüfung bei x = 2: V''(x) = 24x - 96, also V''(2) = -48 < 0, Maximum. Volumen: V(2) = 2 * (12 - 4)^2 = 2 * 64 = 128 cm³.
Tipp zum PDF: Öffne die Druckansicht deines Browsers mit Strg + P und wähle als Ziel „Als PDF speichern“. So hast du Aufgaben und Lösungen offline zum Üben.
Häufige Fehler und wie du sie vermeidest
- Nebenbedingung vergessen: Wer direkt A = x * y ableitet, kommt nicht weiter. Zwei Variablen bedeuten immer: erst die Nebenbedingung einsetzen, dann ableiten.
- Definitionsbereich ignorieren: Eine Seitenlänge von -3 cm oder x = 6 bei der Schachtel? Physikalisch unmöglich. Notiere den Definitionsbereich direkt bei der Zielfunktion und prüfe dein Ergebnis dagegen.
- Keine Prüfung auf Maximum oder Minimum: Die Nullstelle der Ableitung ist nur ein Kandidat. Ohne zweite Ableitung oder Vorzeichenwechsel gibt es Punktabzug, und du könntest versehentlich ein Minimum als Antwort verkaufen.
- Frage nicht vollständig beantworten: Oft sind beide Seitenlängen und der Extremwert gefragt, nicht nur x. Lies die Aufgabe am Ende noch einmal.
- Vorschnelles Ausmultiplizieren: Manchmal ist die faktorisierte Form wie x * (12 - 2x)^2 praktischer, etwa für die Produktregel. Entscheide bewusst, welche Form du ableitest.
- Einheiten weglassen: 1250 ist keine Fläche, 1250 m² schon. Antwortsatz immer mit Einheit.
Checkliste für die Klausur
Kurz vor der Abgabe alles abhaken:
- Zielgröße klar benannt und als Formel notiert?
- Nebenbedingung aus dem Text aufgestellt und nach einer Variablen aufgelöst?
- Zielfunktion mit nur einer Variablen samt Definitionsbereich aufgeschrieben?
- Ableitung korrekt gebildet und Nullstellen sauber berechnet?
- Art des Extremums mit A'' oder Vorzeichenwechsel begründet?
- Alle Kandidaten und Randwerte mit dem Definitionsbereich abgeglichen?
- Antwortsatz mit allen gesuchten Größen und Einheiten formuliert?
Sieben Haken, volle Punktzahl. So einfach kann Struktur sein.
Häufige Fragen
Wie finde ich die Nebenbedingung in einer Extremwertaufgabe?
Die Nebenbedingung steckt in einer festen Angabe im Text, zum Beispiel einem vorgegebenen Umfang, einer festen Summe oder einer begrenzten Materialmenge. Suche nach Formulierungen wie „insgesamt“, „stehen zur Verfügung“ oder „beträgt genau“. Daraus baust du eine Gleichung, die du nach einer Variablen auflöst.
Muss ich immer die zweite Ableitung prüfen?
Du brauchst irgendeinen Nachweis, dass wirklich ein Maximum oder Minimum vorliegt. Die zweite Ableitung ist der schnellste Weg, alternativ zeigst du einen Vorzeichenwechsel der ersten Ableitung. Ohne diese Begründung gibt es in der Klausur Punktabzug.
Was sind Randextrema und wann muss ich sie beachten?
Wenn der Definitionsbereich ein abgeschlossenes Intervall ist, kann der größte oder kleinste Wert auch am Rand liegen, ohne dass dort die Ableitung null ist. Vergleiche in solchen Fällen die Funktionswerte an den Rändern mit denen deiner Kandidaten. Der größte Wert gewinnt beim Maximum, der kleinste beim Minimum.
Kommen Extremwertaufgaben im Berliner Abitur dran?
Ja, Extremwertprobleme mit Nebenbedingungen gehören zur Analysis im Rahmenlehrplan der Berliner Oberstufe und tauchen regelmäßig in Klausuren und im Abitur auf. Im Grundkurs sind es meist Standardsituationen wie Rechtecke, Schachteln oder Zahlenprobleme. Das 6-Schritte-Schema deckt diese Fälle ab.
Was mache ich, wenn nach dem Einsetzen immer noch zwei Variablen übrig sind?
Dann fehlt vermutlich eine zweite Bedingung aus dem Text oder du hast die Nebenbedingung nicht vollständig eingesetzt. Lies die Aufgabe erneut und prüfe, ob jede Angabe verwendet wurde. Am Ende darf die Zielfunktion nur noch von einer einzigen Variablen abhängen.