Blog · Mathe · 2026-08-06

Kurvendiskussion: Aufgaben mit Lösungen wie im PDF

Kurz gesagt: Eine vollständige Kurvendiskussion umfasst im Grundkurs: Definitionsbereich, Symmetrie, Nullstellen, Ableitungen bilden, Extrempunkte mit notwendigem und hinreichendem Kriterium, Wendepunkte, Verhalten für x gegen plus und minus unendlich sowie eine Skizze des Graphen. Wer nach Aufgaben zur Kurvendiskussion als PDF sucht, braucht genau dieses Schema plus durchgerechnete Beispiele. Beides findest du hier, inklusive Übungsaufgaben mit Kurzlösungen zum Ausdrucken oder Abschreiben.

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Das Schema: 7 Schritte für jede Kurvendiskussion

Wer kurvendiskussion aufgaben pdf googelt, will meist zwei Dinge: ein klares Vorgehen und Aufgaben zum Üben. Das Vorgehen zuerst. Jede Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion läuft nach demselben Muster ab:

Definitionsbereich: Bei ganzrationalen Funktionen immer alle reellen Zahlen. Ein Satz reicht.
Symmetrie: Nur gerade Exponenten? Dann achsensymmetrisch zur y-Achse. Nur ungerade Exponenten? Punktsymmetrisch zum Ursprung. Gemischt? Keine dieser beiden Symmetrien.
Nullstellen: Setze f(x) = 0. Hilfsmittel: Ausklammern, pq-Formel, Substitution oder Polynomdivision.
Ableitungen: Bilde f'(x) und f''(x). Sauber aufschreiben, du brauchst beide gleich mehrfach.
Extrempunkte: Notwendiges Kriterium: f'(x) = 0. Hinreichendes Kriterium: f''(x) kleiner 0 bedeutet Hochpunkt, f''(x) größer 0 bedeutet Tiefpunkt. Die y-Koordinate bekommst du durch Einsetzen in f, nicht in f'.
Wendepunkte: Notwendiges Kriterium: f''(x) = 0. Hinreichend: f'''(x) ungleich 0 oder Vorzeichenwechsel von f''.
Verhalten im Unendlichen und Skizze: Der Summand mit dem höchsten Exponenten bestimmt, wohin der Graph für x gegen plus oder minus unendlich läuft. Danach alle Punkte in ein Koordinatensystem eintragen und den Graphen skizzieren.

Merk dir die Reihenfolge. In der Klausur arbeitest du sie einfach von oben nach unten ab.

Durchgerechnetes Beispiel: f(x) = x³ − 3x²

Eine typische Grundkurs-Aufgabe, komplett gelöst.

1. Definitionsbereich: Ganzrationale Funktion, also alle reellen Zahlen.

2. Symmetrie: Die Exponenten 3 und 2 sind gemischt. Keine Achsensymmetrie zur y-Achse, keine Punktsymmetrie zum Ursprung.

3. Nullstellen: f(x) = 0 bedeutet x³ − 3x² = 0. Ausklammern: x²(x − 3) = 0. Also x = 0 (doppelte Nullstelle, der Graph berührt dort die x-Achse) und x = 3.

4. Ableitungen: f'(x) = 3x² − 6x und f''(x) = 6x − 6.

5. Extrempunkte: f'(x) = 0 liefert 3x(x − 2) = 0, also x = 0 oder x = 2. Prüfen mit f'': f''(0) = −6, das ist kleiner als 0, also Hochpunkt. Mit f(0) = 0 ergibt sich H(0 | 0). Weiter: f''(2) = 6, größer als 0, also Tiefpunkt. Mit f(2) = 8 − 12 = −4 ergibt sich T(2 | −4).

6. Wendepunkt: f''(x) = 0 liefert 6x − 6 = 0, also x = 1. Da f'''(x) = 6 ungleich 0 ist, liegt ein Wendepunkt vor. Mit f(1) = 1 − 3 = −2 folgt W(1 | −2). Er liegt übrigens genau in der Mitte zwischen Hoch- und Tiefpunkt. Bei Funktionen dritten Grades ist das immer so, ein guter Selbstcheck.

7. Verhalten im Unendlichen: Der Term x³ dominiert. Für x gegen plus unendlich geht f(x) gegen plus unendlich, für x gegen minus unendlich gegen minus unendlich. Jetzt noch die Skizze: Hochpunkt im Ursprung, Tiefpunkt bei (2 | −4), Nullstelle bei x = 3. Fertig.

Tipp: Genau das kannst du bei ApexAbi kostenlos üben, mit sofortiger Korrektur wie in der Klausur.

Übungsaufgaben mit Kurzlösungen

Statt lange nach dem perfekten PDF zu suchen: Schreib dir diese drei Aufgaben ab und rechne sie vollständig durch. Genau das steht in jeder guten Aufgabensammlung.

f(x) = x³ − 12x. Kurzlösung: Nullstellen bei x = 0 und x = ±Wurzel(12), Hochpunkt H(−2 | 16), Tiefpunkt T(2 | −16), Wendepunkt W(0 | 0), punktsymmetrisch zum Ursprung.
f(x) = x³ + 3x² − 9x. Kurzlösung: f'(x) = 3x² + 6x − 9, Hochpunkt H(−3 | 27), Tiefpunkt T(1 | −5), Wendepunkt W(−1 | 11), keine Symmetrie.
f(x) = x⁴ − 8x². Kurzlösung: achsensymmetrisch zur y-Achse, Hochpunkt H(0 | 0), Tiefpunkte T(−2 | −16) und T(2 | −16), Nullstellen bei x = 0 und x = ±Wurzel(8).

Wichtig beim Üben: Erst komplett selbst rechnen, dann vergleichen. Wenn deine Werte abweichen, such den Fehler in der Ableitung oder beim Einsetzen. Meistens sitzt er dort.

Tipp fürs eigene PDF: Viele Schulbücher und dein Kurs auf der Lernplattform enthalten Aufgabenblätter zum Herunterladen. Achte darauf, dass Lösungen mit Rechenweg dabei sind. Nur ein Endergebnis hilft dir beim Lernen wenig.

Häufige Fehler und wie du sie vermeidest

y-Koordinate in die falsche Funktion einsetzen. Der Klassiker. Die x-Werte der Extremstellen kommen aus f'(x) = 0, die y-Werte aber immer aus f(x). Wer in f' einsetzt, bekommt 0 heraus und wundert sich.
Hinreichendes Kriterium vergessen. f'(x) = 0 allein beweist keinen Extrempunkt. An der Stelle könnte auch ein Sattelpunkt liegen, wie bei f(x) = x³ an der Stelle x = 0. Prüfe immer mit f'' oder mit dem Vorzeichenwechsel von f'.
Ableitungsfehler bei Vorfaktoren. Aus 3x² wird 6x, nicht 3x. Rechne die Ableitung zur Kontrolle einmal rückwärts: Was müsste ich ableiten, um mein Ergebnis zu bekommen?
Beim Ausklammern Lösungen verlieren. Teilst du die Gleichung 3x² − 6x = 0 durch x, verschwindet die Lösung x = 0. Klammere stattdessen aus: 3x(x − 2) = 0.
Skizze ohne Punkte. Trage erst alle berechneten Punkte ein, dann verbinde sie. Eine Skizze, die deinen eigenen Extrempunkten widerspricht, kostet Punkte und fällt der Korrektorin sofort auf.
Vorzeichen bei f''(x) falsch interpretieren. Eselsbrücke: f'' negativ, der Graph macht ein trauriges Gesicht, also Hochpunkt oben auf dem Bogen. f'' positiv, fröhliches Gesicht, Tiefpunkt unten.

Checkliste für die Klausur

Kurz vor der Abgabe einmal durchgehen:

Alle sieben Schritte bearbeitet und mit Überschrift oder Stichwort gekennzeichnet?
Bei jedem Extrempunkt notwendiges und hinreichendes Kriterium aufgeschrieben?
Alle y-Koordinaten durch Einsetzen in f(x) berechnet?
Wendepunkt mit f'''(x) ungleich 0 oder Vorzeichenwechsel begründet?
Antwortsätze formuliert? Also: "Der Graph hat einen Hochpunkt bei H(0 | 0)" statt nur nackter Zahlen.
Skizze passt zu allen berechneten Werten?
Einheiten und Sachzusammenhang beachtet, falls die Aufgabe eingekleidet ist?

Noch ein Zeittipp. Rechne beim Üben mit Stoppuhr: Eine vollständige Kurvendiskussion einer Funktion dritten Grades solltest du in etwa 20 bis 25 Minuten schaffen. Wenn du deutlich länger brauchst, übe gezielt das Ableiten und das Lösen quadratischer Gleichungen, denn dort geht die meiste Zeit verloren.

Häufige Fragen

Reicht f'(x) = 0, um einen Extrempunkt nachzuweisen?

Nein. Das ist nur das notwendige Kriterium. Es kann auch ein Sattelpunkt vorliegen, wie bei f(x) = x³ an der Stelle x = 0. Du brauchst zusätzlich das hinreichende Kriterium, also f''(x) ungleich 0 oder einen Vorzeichenwechsel von f'.

Was mache ich, wenn f''(x) an der Stelle null ergibt?

Dann liefert die zweite Ableitung keine Entscheidung. Untersuche stattdessen den Vorzeichenwechsel von f' an der Stelle: Wechsel von plus nach minus bedeutet Hochpunkt, von minus nach plus Tiefpunkt. Kein Wechsel bedeutet Sattelpunkt.

Muss ich den Definitionsbereich bei ganzrationalen Funktionen wirklich angeben?

Ja, aber ein kurzer Satz genügt: Der Definitionsbereich ist die Menge aller reellen Zahlen. Es zeigt, dass du das Schema beherrschst, und kostet dich zehn Sekunden. Bei gebrochenrationalen Funktionen wird der Schritt dagegen richtig wichtig.

Wie erkenne ich die Symmetrie ohne zu rechnen?

Schau auf die Exponenten. Kommen nur gerade Exponenten vor, ist der Graph achsensymmetrisch zur y-Achse. Nur ungerade Exponenten bedeuten Punktsymmetrie zum Ursprung. Bei gemischten Exponenten liegt keine dieser einfachen Symmetrien vor. Ein konstanter Summand zählt dabei als gerader Exponent.

Darf ich in der Klausur den Taschenrechner benutzen?

Das hängt vom Klausurteil ab. In Berlin gibt es in der Regel einen hilfsmittelfreien Teil und einen Teil mit Hilfsmitteln. Übe die Kurvendiskussion deshalb auch komplett ohne Rechner, besonders das Lösen quadratischer Gleichungen mit der pq-Formel.